知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a_n+2=
an+2，n为奇数
2an，n为偶数
，．且n∈N^*，a₁=1，a₂=2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_na_n+1，n∈N^*，求数列{b_n}的前2n项和S_2n；
（3）设c_n=a_2n-1a_2n+（-1）ⁿ，证明：
1
c1
+
1
c2
+
1
c3
+…+
1
cn
＜
5
4
．

难度：较难

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2．已知无穷数列{a_n}满足a_n+1=p•a_n+
q
an
（n∈N^*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．
（1）若p=
1
2
，q=2，且a₃=
41
20
，求a₁的值；
（2）若a₁=5，p•q=0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若a₁=2，q=1，且{a_n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．

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3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，对任意的n∈N^*都有a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ，记b_n=
an-2n
3n
（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求S_n；
（3）证明：存在k∈N^*，使得
an+1
an
≤
ak+1
ak
．

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4．设数列{a_n}的各项均为正数，{a_n}的前n项和Sn=
1
4
(an+1)2，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）等比数列{b_n}的各项均为正数，bnbn+1≥Sn2，n∈N^*，且存在整数k≥2，使得bkbk+1=Sk2．
（i）求数列{b_n}公比q的最小值（用k表示）；
（ii）当n≥2时，bn∈N*，求数列{b_n}的通项公式．

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5．（2016•温州一模）如图，已知曲线C₁：y=
2x
x+1
（x＞0）及曲线C₂：y=
1
3x
（x＞0），C₁上的点P₁的横坐标为a₁（0＜a₁＜
1
2
）．从C₁上的点P_n（n∈N₊）作直线平行于x轴，交曲线C₂于点Q_n，再从点Q_n作直线平行于y轴，交曲线C₁于点P_n+1．点P_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a_n}
（Ⅰ）试求a_n+1与a_n之间的关系，并证明：a_2n-1＜
1
2
＜a2n(n∈N+)；
（Ⅱ）若a₁=
1
3
，求证：|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n+1-a_n|＜
4
3
(n∈N+)．

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6．已知函数f（x）=ax+
a-1
x
+（1-2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
（n≥1）．

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（其中n∈N^*）
（1）设b_n=
an
2n
，证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）设c_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•
2an+1
3n+2
（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立；
（3）设d_n=
(3n+5)•2n-1
an•an+1
，数列{d_n}的前n项和为T_n，求证：
2
5
≤T_n＜
1
2
．

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8．已知{a_n}，{b_n}均为等比数列，其前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若a₁=8，b₂=24，且对任意的n∈N^*，总有
Sn
Tn
=
3n+1
4
，求数列{na_n]的前n项和P_n；
（2）当n≤3时，b_n-a_n=n，若数列{a_n}唯一，求S_n．

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9．已知正项数列{a_n}，前n项和为S_n，且有
Sn
=λa_n+c．
（1）求证：λc≤
1
4
；
（2）若λ=1，c=0，求证：S_n≥（
n+1
2
）²；
（3）若2a₂=a₁+a₃，求证：{a_n}为等差数列．

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10．已知函数f（x）=lnx-x+1，记函数f（x）的极大值为m，数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=m+
1
2
，
1
an+1
=
an
+a
2
n
2a
2
n
（a_n≠1）．
（1）证明：数列{
1
an
-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：2e Sn＞2ⁿ+1．

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