知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， S_n=n²+2n，b_n=a_na_n₊₁cos（n+1）π，数列{b_n} 的前n项和为T_n ，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，则实数t的取值范围是．

难度：难

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2．数列{a_n}满足a₁=2， $a_%7Bn%2B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2%5E%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%7D%7D%7B%28n%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29a_%7Bn%7D%2B2%5E%7Bn%7D%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．
（1）设 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2%5E%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设 $c_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，数列{c_n}的前n项和为S_n，求出S_n并由此证明： $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B16%7D%E2%89%A4S_%7Bn%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．

难度：难

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3．已知数列{a_n}满足a₂=102，a_n+1-a_n=4n，（n∈N^*），则数列 $%5C%7B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bn%7D%5C%7D$ 的最小值是（　　）

A．25

B．26

C．27

D．28

难度：难

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4．已知在数列{a_n}中，S_n为其前n项和，若a_n＞0，且4S_n=a_n²+2a_n+1（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，公比q＞1，b₁=a₁，且2b₂，b₄，3b₃成等差数列．
（1）求{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）令c_n= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D$ ，若{c_n}的前项和为T_n，求证：T_n＜6．

难度：难

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ （a_n-1）（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值．
（2）求a_n的通项公式．

难度：难

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6．已知数列{a_n}满足：a₁=1，且a_n+1=3a_n+3ⁿ-1（n∈N^*）
（1）若数列{ $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%2B%CE%BB%7D%7B3%5E%7Bn%7D%7D$ }为等差数列，求λ的值
（2）设数列{ $%20%5Cfrac%20%7B4n-2%7D%7B3a_%7Bn%7D-n-1%7D$ }的前n项和为S_n，求证：S_n＜3．

难度：难

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若4S_n=（2n-1）a_n+1+1，a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足 $%20%5Cfrac%20%7Bb_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ =（ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ） $%C2%A0%5E%7B1%2Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：难

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8．数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n，证明{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

难度：难

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9．数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

难度：难

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10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）设a₁＞0，数列{lg $%20%5Cfrac%20%7B10a_%7B1%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ }的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

难度：难

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