已知\(-9\)，\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(-1\)成等差数列，\(-9\)，\(b_{1}\)，\(b_{2}\)，\(b_{3}\)，\(-1\)成等比数列 ，则\(b_{2}(a_{1}+a_{2})\)等于\((\)    \()\)

在数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)中，已知\(a_{1}=0\)，\(a_{2}=1\)，\(b_{1}=1\)，\(b_{2}=\dfrac{1}{2}\)，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，且满足\(S_{n}+S_{n+1}=n^{2}\)，\(2T_{n+2}=3T_{n+1}-T_{n}\)，其中\(n\)为正整数．

\((1)\) 求数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项公式．

\((2)\) 问：是否存在正整数\(m\)，\(n\)，使得\(\dfrac{T_{n{+}1}\mathrm{{-}}m}{T_{n}\mathrm{{-}}m} > 1+b_{m+2}\)成立\(?\)若存在，求出所有符合条件的有序实数对\((m,n);\)若不存在，请说明理由．

设数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\({a}_{1}=2,{a}_{n+1}=2{S}_{n}+2\left(n∈{N}^{*}\right) \)

\((1)\)求数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)通项公式；

\((2)\)在\(a_{n}\)与\(a_{n+1}\)之间插入\(n\)个数，使这\(n+2\)个数组成一个公差为\(d_{n}\)的等差数列。

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(\dfrac{1}{{d}_{1}}+ \dfrac{1}{{d}_{2}}+ \dfrac{1}{{d}_{3}}+…+ \dfrac{1}{{d}_{n}} < \dfrac{15}{16}\left(n∈{N}^{*}\right) \)

\((\)Ⅱ\()\)在数列\(\left\{{d}_{n}\right\} \)中是否存在三项\(d_{m}\)，\(d_{k}\)，\(d_{p}(\)其中\(m\)，\(k\)，\(p\)成等差数列\()\)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

已知函数\(f(x)=4x+1\)，\(g(x)=2x\)，\(x∈R\)，数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)，\(\{c_{n}\}\)满足条件：\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=f(b_{n})=g(b_{n+1})(n∈N^{*})\)，\({{c}_{n}}=\dfrac{1}{[\dfrac{1}{2}f(n)+\dfrac{1}{2}][g(n)+3]}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)，并求使得\({{T}_{n}} > \dfrac{m}{150}\)对任意\(n∈N^{*}\)都成立的最大正整数\(m\)；

\((\)Ⅲ\()\)求证：\(\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}+\dfrac{{{a}_{2}}}{{{a}_{3}}}+\cdots +\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}} > \dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}\)．

\((1)\)求证：\(\{\)\(b_{n}\)\(\}\)是等比数列；

\((2)\)设\(c_{n}\)\(= \dfrac{a_{n}}{3n-1}\)，求证：\(\{\)\(c_{n}\)\(\}\)是等比数列．

已知\({数列}\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项\({和}{为}A_{n}\)，对\({任意}n{∈}N^{{*}}{满足}\dfrac{A_{n{+}1}}{n{+}1}{-}\dfrac{A_{n}}{n}{=}\dfrac{1}{2}{,}{且}a_{1}{=}1\)，\({数列}\{ b_{n}\}{满}{足}b_{n{+}2}{-}2b_{n{+}1}{+}b_{n}{=}0(n{∈}N{*}){,}b_{3}{=}5\)，其前\(9\)项和为\(63{．}(1)\)求\({数列}\{ a_{n}\}{和}\{ b_{n}\}\)的通项公式\({；}(2){令}c_{n}{=}\dfrac{b_{n}}{a_{n}}{+}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}\)，\({数列}\{ c_{n}\}\)的前\(n\)项\({和}{为}T_{n}\)，若对任意正整数\(n\)，\({都}{有}T_{n}{\geqslant }2n{+}a\)，求实数\(a\)的取值范围\({；}(3)\)将\({数列}\{ a_{n}\}{,}\{ b_{n}\}\)的项按照“当\(n\)为奇数\({时}{,}a_{n}\)放在前面；当\(n\)为偶数\({时}{,}b_{n}\)放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：\({\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a}_{1}{,}b_{1}{,}b_{2}{,}a_{2}{,}a_{3}{,}b_{3}{,}b_{4}{,}a_{4}{,}a_{5}{,}b_{5}{,}b_{6}{,…}\)，