知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．

已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆\(C\)的短轴长为\(2\sqrt{3}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；

\((\)Ⅱ\()\)是否存在过点\(P\left( 0,2 \right)\)的直线与椭圆\(C\)相交于不同的两点\(M\)，\(N\)，且满足\(\overrightarrow{OM}· \overrightarrow{ON}=2 (O\)为坐标原点\()\)若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

难度：难

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3．
如图，在同一个平面内，向量\(\overrightarrow{{OA}}{,}\overrightarrow{{OB}}{,}\overrightarrow{{OC}}\)的模分别为\(1{,}1{,}\sqrt{2}{,}\overrightarrow{{OA}}\)与\(\overrightarrow{{OC}}\)的夹角为\(\alpha\)，且\(\tan\alpha{=}7{,}\overrightarrow{{OB}}\)与\(\overrightarrow{{OC}}\)的夹角为\({45}^{∘} \)。若\(\overrightarrow{{OC}}{=}m\overrightarrow{{OA}}{+}n\overrightarrow{{OB}}(m{,}n{∈}R)\)，则\(m{+}n{=}\) ______ ．

难度：难

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4．
已知向量\(\overrightarrow{m}=(\sqrt{3}\sin 2x-1,\cos x),\overrightarrow{n}=(1,2\cos x)\)，设函数\(f(x)=\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}\)。

\((1)\)求\(f(x) \)的最小正周期与单调递减区间

\((2)\)在\(\triangle ABC \)中，\(a,b,c \)分别是角\(A,B,C \)的对边，若\(f(A)=1,b=1,\Delta ABC\)的面积为\( \dfrac{ \sqrt{3}}{2} \)，求\(a \)的值。

难度：难

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5．

已知\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)是单位向量，\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\)，若向量\(\overrightarrow{c}\)满足\(|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=1\)，则\(|\overrightarrow{c}|\)的取值范围是．

难度：难

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6．
已知向量\(a=( \sqrt{3} \sin x,\sin x)\)，\(b=(\cos x,\sin x)\)，其中\(x∈\left[ \dfrac{π}{2},π\right] \) ．

\((1)\)若\(|a-b|=2\)，求\(x\)的值\(;\)

\((2)\)设函数\(f(x)=a·b\)，求\(f(x)\)的值域．

难度：难

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7．已知\(\triangle ABC\)三个顶点的坐标分别为\(A(-1,0)\)，\(B(0,2)\)，\(C(2,0)\)，\(D\) 为\(BC\)的中点，则\( \overrightarrow{AD}=\) ______ ．

难度：难

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8．
在矩形\(ABCD\)中，\(AB=1\)，\(AD=2\)，动点\(P\)在以点\(C\)为圆心且与\(BD\)相切的圆上\(.\)若\(\overrightarrow{AP}=\lambda +\overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AD}\)，则\(λ+μ\)的最大值为________．

难度：难

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9．

已知单位向量\( \overset{→}{a}, \overset{→}{b}, \overset{→}{a}· \overset{→}{b}=0 \)，点\(Q\)满足\( \overset{→}{OQ}= \sqrt{2}( \overset{→}{a}+ \overset{→}{b}) \)，曲线\(C=\{P| \overset{→}{OP}= \overset{¯}{a}\cos θ+ \overset{¯}{b}\sin θ,0\leqslant θ\leqslant 2π\} \)，区域\(Ω=\{P|0 < r\leqslant | \overset{→}{PQ}|\leqslant R,r < R\} .\)若\(C\cap \Omega \)为两段分离的曲线，则( )

A．\(1 < r < 3 < R\)

B．\(1 < r < 3\leqslant R\)

C．\(r\leqslant 1 < R < 3\)

D．\(1 < r < R < 3\)

难度：难

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10．

在\(\Delta ABC\)中，设角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c\)，向量\(\overset{\to }{{m}}\,=\left( \cos A,\sin A \right)\)，\(\overset{\to }{{n}}\,=\left( \sqrt{2}-\sin A,\cos A \right)_{,若}\overset{\to }{{m\cdot }}\,\overset{\to }{{n}}\,=1_{,}\)

\((1)\)求角\(A\)的大小；

\((2)\)若\(b=4\sqrt{2},\)且\(c=\sqrt{2}a\)，求\(\Delta ABC\)的面积．

难度：难

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