知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数\(f\left(x\right)=a{x}^{2}-{e}^{x}\left(a∈R\right) \)在\(\left(0,+∞\right) \)上有两个零点为\({x}_{1},{x}_{2}\left({x}_{1} < {x}_{2}\right) \)。

\((1)\)求实数\(a\)的取值范围；

\((2)\)求证：\({x}_{1}+{x}_{2} > 4 \)。

难度：难

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2．

已知\(a\neq 0\)，证明关于\(x\)的方程\(ax=b\)有且只有一个根．

难度：难

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3． \((1)\)已知\(a > 0\)，求证：\(\sqrt{a+5}- \sqrt{a+3} > \sqrt{a+6}- \sqrt{a+4} \)
\((2)\)证明：已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}-x+1\)，\(b=4-x\)，\(c=x^{2}-2x.\)试证明\(a\)，\(b\)，\(c\)至少有一个不小于\(1\)．

难度：难

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4．

已知性质\(A\)：“在等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，若\({{a}_{12}}=0\)，则\(a_{1}{+}a_{2}{+…+}a_{n}{=}a_{1}{+}a_{2}{+…+}a_{23{-}n}\)．\((n < 23,n\in {{N}^{*}})\)成立” ．
\((1)\)类比性质\(A\)，请写出等比数列的类似性质\(B\)：

性质\(B\)：“在等比数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)中，若\({{b}_{11}}=1\)，_________________________________” ．

\((2)\)证明性质\(A\)或性质\(B\)．

难度：难

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5．
设函数\(f(x)=x^{-2}e^{x}-k(x-2\ln x)(k\)为实常数\()\)．

\((1)\)当\(k=1\)时，求函数\(f(x)\)的最小值；

\((2)\)若函数\(f(x)\)在区间\((0,4)\)内存在三个极值点，求\(k\)的取值范围．

难度：难

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6．
已知\(f(x)=|x+1|+|x-1|\)，不等式\(f(x) < 4\)的解集为\(M\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(M\)；

\((\)Ⅱ\()\)当\(a\)，\(b∈M\)时，证明：\(2|a+b| < |4+ab|\)．

难度：难

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7．
已知函数\(f(x)=x\ln x\)，

\((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的单调区间；

\((\)Ⅱ\()\)若\(k\)为正常数，设\(g(x)=f(x)+f(k-x)\)，求函数\(g(x)\)的最小值；

\((\)Ⅲ\()\)若\(a > 0\)，\(b > 0\)，证明：\(f(a)+(a+b)\ln 2\geqslant f(a+b)-f(b)\)．

难度：难

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8．
已知\(f(x)= \dfrac {ax}{a+x}(x\neq -a)\)，且\(f(2)=1\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(a\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=f(a_{n}),(n\in N^{*})\)，计算\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，并由此猜想通项公式\(a_{n}\)；
\((\)Ⅲ\()\)证明\((\)Ⅱ\()\)中的猜想．

难度：难

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9．
已知函数\(f(x)=(ax-1)e^{x}\)，\(a∈R\)．

\((\)Ⅰ\()\)讨论\(f(x)\)的单调区间；

\((\)Ⅱ\()\)当\(m > n > 0\)时，证明：\(me^{x}+n < ne^{n}+m\)．

难度：难

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10．已知\(a\)，\(b\)，\(m\)是正实数，且\(a < b\)，求证：\( \dfrac {a}{b} < \dfrac {a+m}{b+m}\)．

难度：难

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