知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数\(f(x)={{x}^{3}}+\dfrac{1}{x+1}\)，\(x\in [0,1]\)．
\((1)\)用分析法证明：\(f(x)\geqslant 1-x+{{x}^{2}}\)；

\((2)\)证明：\(f(x) > \dfrac{3}{4}\)\(.\)

难度：难

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2．
证明下列不等式：

\((1)\)当\(a > 2 \)时，求证：\( \sqrt{a+2}+ \sqrt{a-2} < 2 \sqrt{a} \)；

\((2)\)设\(a > 0\)，\(b > 0\)，若\(a+b-ab=0 \)，求证：\(a+b⩾4 \)．

难度：难

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3．

设函数\(f\left( x \right)={\ln }x+\dfrac{a}{x-1}\) \(\left( a > 0,\ln 2\approx 0.69 \right)\)

\((\)Ⅰ\()\)当\(a=\dfrac{1}{30}\)时，求函数\(f\left( x \right)\)的单调区间；

\((\)Ⅱ\()\)当\(a\geqslant \dfrac{1}{2}\)，\(x\in \left( 1,+\infty \right)\)时，求证：\({\ln }x+\dfrac{a}{x-1} > 1\)．

难度：难

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4．已知函数\(f\left(x\right)=a{x}^{2}-{e}^{x}\left(a∈R\right) \)在\(\left(0,+∞\right) \)上有两个零点为\({x}_{1},{x}_{2}\left({x}_{1} < {x}_{2}\right) \)。

\((1)\)求实数\(a\)的取值范围；

\((2)\)求证：\({x}_{1}+{x}_{2} > 4 \)。

难度：难

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5．
\((1)\)用分析法证明：\(|\sqrt{1+{{a}^{2}}}+\sqrt{1+{{b}^{2}}}| > |a-b|(a\ne b)\)

\((2)\)已知\(a,b,c\in R\)，用综合法求证：\(\sqrt{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}}}\geqslant a+b+c\)

难度：难

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6．
已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，用分析法证明：\( \dfrac {a+b}{2}\geqslant \dfrac {2ab}{a+b}\)．

难度：难

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7．
已知函数\(f\left(x\right)=a{x}^{2}-{e}^{x}\left(a∈R\right) \)在\(\left(0,+∞\right) \)上有两个零点为\(x_{1}.x_{2}(x_{1} < x_{2})\)

\((1)\)求实数\(a\)的取值范围

\((2)\)求证\(x_{1}+x_{2} > 4\)

难度：难

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8．
\((1)\)用综合法证明：如果\(a\)\( > 0\)，\(b\)\( > 0\)，试证明\(\lg \)\(\dfrac{a+b}{2}\geqslant \dfrac{\lg a+\lg b}{2}\)

\((2)\)用分析法证明：\(\sqrt{5}+\sqrt{7} > 1+\sqrt{13}\)；\(.\)

难度：难

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9．
设函数\(f(x)=x^{-2}e^{x}-k(x-2\ln x)(k\)为实常数\()\)．

\((1)\)当\(k=1\)时，求函数\(f(x)\)的最小值；

\((2)\)若函数\(f(x)\)在区间\((0,4)\)内存在三个极值点，求\(k\)的取值范围．

难度：难

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10．
设\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(2c > a+b\)，求证：
\((1)c^{2} > ab\)；
\((2)c- \sqrt {c^{2}-ab} < a < c+ \sqrt {c^{2}-ab}\)．

难度：难

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