知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．用反证法证明命题“若\(x^{2}-(a+b)x+ab\neq 0\)，则\(x\neq a\)且\(x\neq b\)”时，应假设为　　　　．

难度：难

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3．

设函数\(f(x)=|2x-a|\)，\(g(x)=x+2\)．

\((1)\)当\(a=1\)时，求不等式\(f(x)+f(-x)\leqslant g(x)\)的解集；

\((2)\)求证：\(f\left( \dfrac{b}{2}\right),f\left(- \dfrac{b}{2}\right),f\left( \dfrac{1}{2}\right) \)中至少有一个不小于\(\dfrac{1}{2} \)．

难度：难

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4．
若\(x > 0\)，\(y > 0\)，且\(x+y > 2\)，
\((1) \begin{cases} \overset{x=1}{y=2}\end{cases}\)，\( \begin{cases} \overset{x= \dfrac {1}{2}}{y=3}\end{cases}\)，\( \begin{cases} \overset{x= \sqrt {3}}{y= \sqrt {2}}\end{cases}\)时，分别比较\( \dfrac {1+y}{x}\)和\( \dfrac {1+x}{y}\)与\(2\)的大小关系；
\((2)\)依据\((1)\)得出的结论，归纳提出一个满足条件\(x\)、\(y\)都成立的命题并证明．

难度：难

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5．

某个自然数有关的命题，如果当\(n=k+1\left(n∈{N}^{*}\right) \)时，该命题不成立，那么可推得\(n=k\)时，该命题不成立\(.\)现已知当\(n=2016\)时，该命题成立，那么，可推得( )

A．\(n=2015\)时，该命题成立

B．\(n=2017\)时，该命题成立

C．\(n=2015\)时，该命题不成立

D．\(n=2017\)时，该命题不成立

难度：难

6．
若下列两个方程：\(x^{2}+(a-1)x+a^{2}=0\)，\(x^{2}+2ax-2a=0\)中至少有一个方程有实根，求\(a\)的范围。\((\)提示：反证法\()\)

难度：难

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7．
\((1)\)已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}+ \dfrac{1}{2}\)，\(b=2-x\)，\(c=x^{2}-x+1\)，证明\(a\)，\(b\)，\(c\)至少有一个不小于\(1\)．

\((2)\)已知：\(ΔABC\)的三条边分别为\(a\)，\(b\)，\(c.\)求证：\(\dfrac{a+b}{1+a+b} > \dfrac{c}{1+c}\)

难度：难

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8．
某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数\(f(x)\)在\([0,1]\)上有意义，且\(f(0)=f(1)\)，如果对于不同的\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[0,1]\)，都有\(|f(x_{1})-f(x_{2})| < |x_{1}-x_{2}|\)，求证：\(|f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})| < \dfrac{1}{2}.\)那么他的反设应该是________．

难度：难

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9．
已知\(abcd\in R\)，且\(a+b=c+d=1,ac+bd > 1, \)求证：\(a,b,c,d \)中至少有一个是负数。

难度：难

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10．
已知函数_{\(f(x)=\ln x-ax+1,g(x)=\dfrac{a-1}{2}{{x}^{2}}\)}，_{\(a\in R\)}；

\((1)\)已知_{\(a < 2\)}，_{\(h(x)=f(x)+g(x)\)}，求_\(h(x)\)的单调区间；

\((2)\)已知_\(a=1\)，若_{\(0 < {{x}_{1}} < {{x}_{2}} < 1\)}，_{\({f}{{'}}(t)=\dfrac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}({{x}_{1}} < t < {{x}_{2}})\)}，求证：_{\(t < \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}\)}．

难度：难

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