知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设x，y都是正数，且x+y＞2．证明： $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bx%7D%7By%7D$ ＜2和 $%20%5Cfrac%20%7B1%2By%7D%7Bx%7D$ ＜2中至少有一个成立．

难度：难

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2．
已知函数$f(x)=a^{x}+ \dfrac {x-2}{x+1}(a > 1)$，求证：
$(1)$函数$f(x)$在$(-1,+∞)$上为增函数；
$(2)$方程$f(x)=0$没有负数根．

难度：难

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3．
设$x$，$y$都是正数，且$x+y > 2.$证明：$ \dfrac {1+x}{y} < 2$和$ \dfrac {1+y}{x} < 2$中至少有一个成立．

难度：难

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4．
已知$x∈R$，$a=x^{2}+ \dfrac {1}{2}$，$b=2-x$，$c=x^{2}-x+1$，试证明$a$，$b$，$c$至少有一个不小于$1$．

难度：难

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5．
$(1)$求证：当$a$、$b$、$c$为正数时，$(a+b+c)( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b}+ \dfrac {1}{c})\geqslant 9$
$(2)$已知$x∈R$，$a=x^{2}-1$，$b=2x+2$，求证$a$，$b$中至少有一个不少于$0$．

难度：难

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6．
用反证法证明：当$m$为任何实数时，关于$x$的方程$x^{2}-5x+m=0$与$2x^{2}+x+6-m=0$至少有一个方程有实数根．

难度：难

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7．
已知$a$，$b$，$c$是互不相等的实数，求证：由$y=ax^{2}+2bx+c$，$y=bx^{2}+2cx+a$，$y=cx^{2}+2ax+b$确定的三条抛物线至少有一条与$x$轴有两个不同的交点．

难度：难

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8．

用反证法证明“若$a+b+c < 3$，则$a$，$b$，$c$中至少有一个小于$1$”时，“假设”应为$($　　$)$

A．假设$a$，$b$，$c$至少有一个大于$1$

B．假设$a$，$b$，$c$都大于$1$

C．假设$a$，$b$，$c$至少有两个大于$1$

D．假设$a$，$b$，$c$都不小于$1$

难度：难

9．某个自然数有关的命题，如果当n=k+1（n∈N^*）时，该命题不成立，那么可推得n=k时，该命题不成立．现已知当n=2012时，该命题成立，那么，可推得（　　）

A．n=2011时，该命题成立

B．n=2013时，该命题成立

C．n=2011时，该命题不成立

D．n=2013时，该命题不成立

难度：难

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