知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
甲、乙两位小学生各有$2008$年奥运吉祥物“福娃”$5$个$($其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮各一个”$)$，现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达$9$次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止$.$记游戏终止时投掷骰子的次数为$ξ$

$(1)$求掷骰子的次数为$7$的概率；

$(2)$求$ξ$的分布列及数学期望$Eξ$．

难度：难

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2．
当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进$.$高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施$.$宜昌市$2018$年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、$1$分钟跳绳三项测试，三项考试满分为$50$分，其中立定跳远$15$分，掷实心球$15$分，$1$分钟跳绳$20$分$.$某学校在初三上期开始时为了掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了$100$名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：

每分钟
跳绳个数

$[155,165)$

$[165,175)$

$[175,185)$

$[185,+ $ $\infty $ $)$

得分

$17$

$18$

$19$

$20$

$($Ⅰ$)$现从样本$100$名学生中，任意选取$2$人，求两人$1$分钟跳绳得分之和不大于$35$分的概率；

$($Ⅱ$)$若该校初三年级所有学生的跳绳个数$X$近似服从正态分布$N(\mu ,{{\sigma }^{2}})$，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差${{S}^{2}}\approx 169($各组数据用中点值代替$).$根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加$10$个，现利用所得正态分布模型：

$(ⅰ)$若该学校全年级有$2000$名学生，预估正式测试每分钟跳$182$个以上的人数；$($结果四舍五入到整数$)$

$(ⅱ)$若在全年级所有学生中任意选取$3$人，记正式测试时每分钟跳$195$个以上的人数为$Y$，求随机变量$Y$的分布列和期望．

附：若随机变量$X$服从正态分布$N(\mu ,{{\sigma }^{2}})$，则$P(\mu -\sigma < X < \mu +\sigma )=0.6826$，$P(\mu -2\sigma < X < \mu +2\sigma )=0.9544,P\left(μ-3δ < X < μ+3δ\right)=0.9974 $

难度：难

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3．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
（1）求乙以4比1获胜的概率；
（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率．

难度：难

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4．一同学投篮每次命中的概率是 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，该同学连续投蓝5次，每次投篮相互独立．
（1）求连续命中4次的概率；
（2）求恰好命中4次的概率．

难度：难

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5．
乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用$7$局$4$胜制$($即先胜$4$局者获胜，比赛结束$)$，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
$(1)$求乙以$4$比$1$获胜的概率；
$(2)$求甲获胜且比赛局数多于$5$局的概率．

难度：难

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6．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的$8$次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：
$(1)$比较这两名同学$8$次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
$(2)$以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过$15$分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响$.$预测在接下来的$2$次周练中，甲、乙两名同学失分均超过$15$分的次数$X$的分布列和均值．

难度：难

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7．
甲乙两个生物小组分别独立开展对某生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．

$(1)$甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率．

$(2)$如果乙小组成功了$4$次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．

$(3)$若甲乙两小组各进行$2$次试验，设试验成功的总次数为，求的数学期望．

难度：难

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8．
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表，如下：

日销量

$[0,50)$

$[50,100)$

$[100,150)$

$[150,200)$

$[200,250)$

频率

$0.15$

$0.25$

$0.3$

$0.2$

$0.1$

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

$(1)$求在未来连续$3$天里，有$2$天的日销售量都不低于$100$个且另$1$天的日销售量低于$50$个的概率；

$(2)$用$X$表示在未来$3$天里日销售量不低于$100$个的天数，求随机变量$X$的分布列，期望$E$$($$X$$)$及方差$D$$($$X$$).$

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9．某生物产品，每一个生产周期成本为$20$万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

产量$($吨$)$

$30$

$50$

概率

$0.5$

$0.5$

$(1)$设$X$表示$1$个生产周期此产品的利润，求$X$的分布列；

$(2)$连续$3$个生产周期，求这$3$个生产周期中至少有$2$个生产周期的利润不少于$10$万元的概率．

难度：难

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10．

甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的$10$道题中，甲答对其中每道题的概率都是$ \dfrac {4}{5}$，乙能答对其中的$8$道题$.$规定每次考试都从备选的$10$道题中随机抽出$4$道题进行测试，只有选中的$4$个题目均答对才能入选；
$($Ⅰ$)$ 求甲恰有$2$个题目答对的概率；
$($Ⅱ$)$ 求乙答对的题目数$X$的分布列；

难度：难

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日销量	\([0,50)\)	\([50,100)\)	\([100,150)\)	\([150,200)\)	\([200,250)\)
频率	\(0.15\)	\(0.25\)	\(0.3\)	\(0.2\)	\(0.1\)

产量\((\)吨\()\)	\(30\)	\(50\)
概率	\(0.5\)	\(0.5\)