知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
为使政府部门与群众的沟通日常化，某城市社区组织“网络在线问政”活动$.2015$年，该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政；$2016$年初，社区随机抽取了$60$名居民，对居民上网参政议政意愿进行调查$.$已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布如表：

参与调查问卷次数 $[0,2)$ $[2,4)$ $[4,6)$ $[6,8)$ $[8,10)$ $[10,12]$

参与调查问卷人数 $8$ $14$ $8$ $14$ $10$ $6$

附：

$P(k^{2} > k_{0})$ $0.100$ $0.050$ $0.010$

$k_{0}$ $2.706$ $3.841$ $6.635$

$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
$(1)$若将参与调查问卷不少于$4$次的居民称为“积极上网参政居民”，请你根据频数分布表，完成$2×2$列联表，据此调查你是否有$99\%$的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”？

男女合计

积极上网参政议政 $8$

不积极上网参政议政

合计 $40$

$(2)$从被调查的人中按男女比例随机抽取$6$人，再从选取的$6$人中选出$3$人参加政府听证会，求选出的$3$人为$2$男$1$女的概率．

难度：难

解析收藏试题篮
2．
某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校$200$名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间$($单位：分钟$)$进行调查，将收集的数据分成$[0,10).[10$，$20)$，$[20,30)$，$[30,40)$，$[40,50)$，$[50,60)$六组，并作出频率分布直方图$($如图$)$，将日均课外体育锻炼时间不低于$40$分钟的学生评价为“课外体育达标”．

课外体育不达标课外体育达标合计

男 $60$ ______ ______

女 ______ ______ $110$

合计 ______ ______ ______

$(1)$请根据直方图中的数据填写下面的$2×2$列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过$0.01$的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
$(2)$在$[0,10)$，$[40,50)$这两组中采取分层抽样，抽取$6$人，再从这$6$名学生中随机抽取$2$人参加体育知识问卷调查，求这$2$人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．
附参考公式与：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^{2}\geqslant k_{0})$ $0.15$ $0.05$ $0.025$ $0.010$ $0.005$ $0.001$

$k_{0}$ $2.702$ $3.841$ $5.024$ $6.635$ $7.879$ $10.828$

难度：难

解析收藏试题篮
3．
为了解某地区某种农产品的年产量$x($单位：吨$)$对价格$y($单位：千元$/$吨$)$和利润$z$的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：

$x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$

$y$ $8$ $6$ $5$ $4$ $2$

已知$x$和$y$具有线性相关关系．
$(1)$求$y$关于$x$的线性回归方程$ \hat {y}= \hat {b}x+ \hat {a}$；
$(2)$若每吨该农产品的成本为$2.2$千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润$z$取到最大值？
参考公式：$ \hat {b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overline {x} \overline {y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n \overline {x}^{2}}$．

难度：难

解析收藏试题篮

4．某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：

年龄段	18-24岁	25-49岁	50-64岁	65岁及以上
频数	35	20	25	20
支持脱欧的人数	10	10	15	15

（Ⅰ）由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；

	年龄低于50岁的人数	年龄不低于50岁的人数	合计
支持“脱欧”人数
不支持“脱欧”人数
合计

附： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

P（K²≥k₀）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
K₀	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从18-64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18-24岁的概率．

难度：难

解析收藏试题篮

5．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；
②求X的数学期望和方差．
附临界值表：

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

K²的观测值：k= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ （其中n=a+b+c+d）
关于商品和服务评价的2×2列联表：

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评	a=80	b= ______	______
对商品不满意	c= ______	d=10	______
合计	______	______	n=200

难度：难

解析收藏试题篮

6．
在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．

坐标系与参数方程不等式选讲

人数及均分人数均分人数均分

男同学 $14$ $8$ $6$ $7$

女同学 $8$ $6.5$ $12$ $5.5$

$($Ⅰ$)$求全班选做题的均分；
$($Ⅱ$)$据此判断是否有$90\%$的把握认为选做$《$坐标系与参数方程$》$或$《$不等式选讲$》$与性别有关？
$($Ⅲ$)$已知学习委员甲$($女$)$和数学科代表乙$($男$)$都选做$《$不等式选讲$》.$若在$《$不等式选讲$》$中按性别分层抽样抽取$3$人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．
参考公式：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，$n=a+b+c+d$．
下面临界值表仅供参考：

$P(K^{2}\geqslant k_{0})$ $0.15$ $0.10$ $0.05$ $0.025$ $0.010$ $0.005$ $0.001$

$k_{0}$ $2.072$ $2.706$ $3.841$ $5.024$ $6.635$ $7.879$ $10.828$

难度：难

解析收藏试题篮
7．
近年来我国电子商务行业发展迅速，相关管理部门推出了针对电商的商品质量和服务评价的评价体系，现从评价系统中选出某商家的$200$次成功交易，发现对商品质量的好评率为$0.6$，对服务评价的好评率为$0.75$，其中对商品质量和服务评价都做出好评的交易$80$次．
$(1)$是否可以在犯错误概率不超过$0.5\%$的前提下，认为商品质量与服务好评有关？
$(2)$若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的$5$次购物中，设对商品质量和服务评价全好评的次数为随机变量$X$，求$X$的分布列$($可用组合数公式表示$)$和数学期望．

$P(K^{2}\geqslant k_{0})$ $0.15$ $0.10$ $0.05$ $0.025$ $0.010$ $0.005$ $0.001$

$k_{0}$ $2.072$ $2.706$ $3.841$ $5.024$ $6.635$ $7.879$ $10.828$

参考公式：$k^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$．

难度：难

解析收藏试题篮

8．

近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇$.2016$年$618$期间，某购物平台的销售业绩高达$516$亿人民币$.$与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系$.$现从评价系统中选出$200$次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为$0.6$，对服务的好评率为$0.75$，其中对商品和服务都做出好评的交易为$80$次．
$($Ⅰ$)$先完成关于商品和服务评价的$2×2$列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过$0.001$的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
$($Ⅱ$)$若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的$3$次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量$X$：
$①$求对商品和服务全好评的次数$X$的分布列；
$②$求$X$的数学期望和方差．
附临界值表：

$P(K^{2}\geqslant k)$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.897$	$10.828$

$K^{2}$的观测值：$k= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}($其中$n=a+b+c+d)$
关于商品和服务评价的$2×2$列联表：

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评	$a=80$	$b=$ ______	______
对商品不满意	$c=$ ______	$d=10$	______
合计	______	______	$n=200$

难度：难

解析收藏试题篮

9．

某校计划面向高一年级$1200$名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了$180$名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有$105$人$.$在这$180$名学生中选择社会科学类的男生、女生均为$45$人．
$($Ⅰ$)$分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；
$($Ⅱ$)$根据抽取的$180$名学生的调查结果，完成下列列联表$.$并判断能否在犯错误的概率不超过$0.025$的前提下认为科类的选择与性别有关？

	选择自然科学类	选择社会科学类	合计
男生	______	______	______
女生	______	______	______
合计	______	______	______

附：$K^{2}= \dfrac {n(ab-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$．

$P(K^{2}\geqslant k_{0})$	$0.50$	$0.40$	$0.25$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$K_{0}$	$0.455$	$0.708$	$1.323$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

难度：难

解析收藏试题篮

10．
某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的$100$人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图$($如图所示$).$规定$80$分及以上者晋级成功，否则晋级失败$($满分$100$分$)$．
$($Ⅰ$)$求图中$a$的值；
$($Ⅱ$)$根据已知条件完成下面$2×2$列联表，并判断能否有$85\%$的把握认为“晋级成功”与性别有关？

晋级成功晋级失败合计

男 $16$

女 $50$

合计

$($参考公式：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d)$

$P(K^{2}\geqslant k)$ $0.40$ $0.25$ $0.15$ $0.10$ $0.05$ $0.025$

$k$ $0.780$ $1.323$ $2.072$ $2.706$ $3.841$ $5.024$

$($Ⅲ$)$将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取$4$人进行约谈，记这$4$人中晋级失败的人数为$X$，求$X$的分布列与数学期望$E(X)$．

难度：难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷

参与调查问卷次数	\([0,2)\)	\([2,4)\)	\([4,6)\)	\([6,8)\)	\([8,10)\)	\([10,12]\)
参与调查问卷人数	\(8\)	\(14\)	\(8\)	\(14\)	\(10\)	\(6\)

\(P(k^{2} > k_{0})\)	\(0.100\)	\(0.050\)	\(0.010\)
\(k_{0}\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(6.635\)

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.15\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.702\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
\(y\)	\(8\)	\(6\)	\(5\)	\(4\)	\(2\)

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

	男	女	合计
积极上网参政议政		\(8\)
不积极上网参政议政
合计	\(40\)

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男	\(60\)	______	______
女	______	______	\(110\)
合计	______	______	______

	坐标系与参数方程		不等式选讲
人数及均分	人数	均分	人数	均分
男同学	\(14\)	\(8\)	\(6\)	\(7\)
女同学	\(8\)	\(6.5\)	\(12\)	\(5.5\)

\(P(K^{2}\geqslant k)\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.897\)	\(10.828\)

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.50\)	\(0.40\)	\(0.25\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(K_{0}\)	\(0.455\)	\(0.708\)	\(1.323\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

	晋级成功	晋级失败	合计
男	\(16\)
女			\(50\)
合计