知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图所示，已知椭圆\(E{：}\dfrac{x^{2}}{a^{2}}{+}\dfrac{y^{2}}{b^{2}}{=}1(a{ > }b{ > }0)\)过点\((1{,}\dfrac{3}{2})\)，直线\(l\)：\(y=kx+1(k\ne 0)\)与椭圆\(E\)交于\(A{,}B\)两点，当\(k{=}1\)时，椭圆\(E\)的右焦点到直线\(l\)的距离为\(\sqrt{2}\)．
\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；
\((2)\)设点\(A\)关于\(y\)轴的对称点为，试问：直线是否恒过\(y\)轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

难度：难

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2．已知三点\(O(0,0)\)，\(R(-2,1)\)，\(Q(2,1)\)，曲线\(C\)上任意一点\(M(x,y)\)满足\(\left| \left. \overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MQ} \right. \right|=\overrightarrow{OM}·(\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{OQ})+2\)．
\((1)\)求曲线\(C\)的方程；

\((2)\)若\(A\)，\(B\)是曲线\(C\)上分别位于点\(Q\)两边的任意两点，过\(A\)，\(B\)分别作曲线\(C\)的切线交于点\(P\)，过点\(Q\)作曲线\(C\)的切线分别交直线\(PA\)，\(PB\)于\(D\)，\(E\)两点\(.\)证明：\(\triangle QAB\)与\(\triangle PDE\)的面积之比为定值．

难度：难

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3．

已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左顶点为\(A\)，上顶点为\(B\)，坐标原点\(O\)到直线\(AB\)的距离为\(\dfrac{{2}\sqrt{{5}}}{{5}}\)，该椭圆的离心率为\(\dfrac{\sqrt{{3}}}{{2}}\)．

\((1)\)求椭圆的方程；

\((2)\)设椭圆的右顶点为\({D}\)，若平行于\({BD}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于顶点的\(M,N\)两点，探究直线\(AM\)，\(BN\)的倾斜角之和是否为定值？若是，求出定值；若否，说明理由．

难度：难

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4．

椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，其左焦点到点\(P(2,1)\)的距离为\(\sqrt{10}\)．

\((I)\)求椭圆\(C\)的标准方程；

\((II)\) 若直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于两点\((\)不是左右顶点\()\)，且以\(AB\)为直径的圆过椭圆\(C\)的右顶点，求证：直线\(l\)过定点，并求出该定点的坐标

难度：难

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5．
已知点\(\left(1, \dfrac{3}{2}\right) \)在椭圆\(C\)：\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > b > 0\right) \)上，且椭圆的离心率为\( \dfrac{1}{2} \)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)若\(M\)为椭圆\(C\)的右顶点，点\(A,B \)是椭圆\(C\)上不同的两点\((\)均异于\(M \)且满足直线\(MA\)与\(MB\)斜率之积为\( \dfrac{1}{4} \)试判断直线\(AB\)是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．

难度：难

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6．

椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左右焦点分别为\({{F}_{1}}\)，\({{F}_{2}}\)，且离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，点\(P\)为椭圆上一动点，\(\Delta {{F}_{1}}P{{F}_{2}}\)内切圆面积的最大值为\(\dfrac{\pi }{3}\)．

\((1)\)求椭圆的方程\(;\)

\((2)\)椭圆的左顶点为\({{A}_{1}}\)，过右焦点\({{F}_{2}}\)的直线\(l\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点，连结\({{A}_{1}}A\)，\({{A}_{1}}B\)并延长交直线\(x=4\)分别于\(P\)，\(Q\)两点，以\(PQ\)为直径的圆是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

难度：难

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7．
已知椭圆\( \dfrac{x^{2}}{4}+ \dfrac{y^{2}}{3}=1\)的左顶点为\(A\)，右焦点为\(F\)，过点\(F\)的直线交椭圆于\(B\)，\(C\)两点．

\((1)\)求该椭圆的离心率；

\((2)\)设直线\(AB\)和\(AC\)分别与直线\(x=4\)交于点\(M\)，\(N\)，问：\(x\)轴上是否存在定点\(P\)使得\(MP⊥NP\)？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，说明理由．

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8．
已知椭圆\(E\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线\(l:y=-x+3\)与椭圆\(E\)有且只有一个公共点\(T\)．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程及点\(T\)的坐标；

\((\)Ⅱ\()\)设\(O\)是坐标原点，直线\(l’\)平行于\(OT\)，与椭圆\(E\)交于不同的两点\(A\)、\(B\)，且与直线\(l\)交于点\(P\)\(.\)证明：存在常数\(\lambda \)，使得\({{\left| PT \right|}^{2}}=\lambda \left| PA \right|\cdot \left| PB \right|\)，并求\(\lambda \)的值．

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9．已知动点\(P\)到点\(A(-2,0)\)与点\(B(2,0)\)的斜率之积为\(- \dfrac {1}{4}\)，点\(P\)的轨迹为曲线\(C\)．
\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C\)的轨迹方程；
\((\)Ⅱ\()\)过点\(D(1,0)\)作直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点，连接\(PB\)，\(QB\)分别与直线\(x=3\)交于\(M\)，\(N\)两点\(.\)若\(\triangle BPQ\)和\(\triangle BMN\)的面积相等，求直线\(l\)的方程．

难度：难

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10．

已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，四个顶点分别为为\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)，且四边形\(F_{1}AF_{2}B\)是边长为\(2\)的正方形，动点\(M\)满足\(MD⊥CD\)，连接\(CM\)，交椭圆于点\(P\)．

\((1)\)求椭圆的方程；

\((2)\)证明：\(\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}\)为定值；

\((3)\)试问\(x\)轴上是否存在异于点\(C\)的定点\(Q\)，使得以\(MP\)为直径的圆恒过直线\(DP\)、\(MQ\)的交点，若存在求出点\(Q\)的坐标；若不存在请说明理由．

难度：难

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