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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，右顶点为\(A(2,0)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过点\((1,0)\)的直线\(l\)交椭圆于\(B\)，\(D\)两点，设直线\(AB\)斜率为\(k_{1}\)，直线\(AD\)斜率为\(k_{2}\)，求证：\(k_{1}k_{2}\)为定值．
              难度：难
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            • 2．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，短轴长为\(2 \sqrt {2}\)，左右顶点分别为\(A\)，\(B\)，点\(M\)是椭圆上异于\(A\)，\(B\)的任意一点，记直线\(MA\)，\(MB\)的斜率分别为\(k_{MA}⋅k_{MB}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程，并证明：\(k_{MA}⋅k_{MB}\)是定值；
              \((2)\)设点\(N\)是椭圆\(C\)上另一个异于\(M\)，\(A\)，\(B\)的点，且满足直线\(NB\)的斜率等于\(2k_{MA}\)，试探究：直线\(MN\)是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．
              难度：难
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            • 3．
              已知点\(P\)是椭圆\(C\)上任一点，点\(P\)到直线\(l_{1}\)：\(x=-2\)的距离为\(d_{1}\)，到点\(F(-1,0)\)的距离为\(d_{2}\)，且\( \dfrac { d_{ 2 }}{d_{1}}= \dfrac { \sqrt {2}}{2}.\)直线\(l\)与椭圆\(C\)交于不同两点\(A\)、\(B(A,B\)都在\(x\)轴上方\()\)，且\(∠OFA+∠OFB=180^{\circ}\)．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)当\(A\)为椭圆与\(y\)轴正半轴的交点时，求直线\(l\)方程；
              \((3)\)对于动直线\(l\)，是否存在一个定点，无论\(∠OFA\)如何变化，直线\(l\)总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 4．
              已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆\(C\)的一个焦点\(F\)在抛物线\(y^{2}=4x\)的准线上，且椭圆\(C\)过点\(P(1, \dfrac {3}{2})\)，直线与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两个不同点．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)若直线的斜率为\( \dfrac {1}{2}\)，且不过点\(P\)，设直线\(PA\)，\(PB\)的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)，求证：\(k_{1}+k_{2}\)为定值．
              难度：难
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            • 5．
              如图，点\(A(-2,0)\)，\(B(2,0)\)分别为椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右顶点，\(P\)，\(M\)，\(N\)为椭圆\(C\)上非顶点的三点，直线\(AP\)，\(BP\)的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)，且\(k_{1}k_{2}=- \dfrac {1}{4}\)，\(AP/\!/OM\)，\(BP/\!/ON\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)判断\(\triangle OMN\)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
              难度：难
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            • 6．
              设抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)过点\(M(2,-2 \sqrt {2})\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求抛物线\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过点\(F(1,0)\)作相互垂直的两条直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)，曲线\(C\)与\(l_{1}\)交于点\(P_{1}\)，\(P_{2}\)，与\(l_{2}\)交于点\(Q_{1}\)，\(Q_{2}.\)证明：\( \dfrac {1}{|P_{1}P_{2}|}+ \dfrac {1}{|Q_{1}Q_{2}|}= \dfrac {1}{4}\)；
              \((\)Ⅲ\()\)在\((\)Ⅱ\()\)中，我们得到关于抛物线的一个优美结论\(.\)请你写出关于椭圆\(Γ： \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1\)的一个相类似的结论\((\)不需证明\()\)．
              难度：难
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            • 7．
              已知圆\(A\)：\(x^{2}+y^{2}+2x-15=0\)和定点\(B(1,0)\)，\(M\)是圆\(A\)上任意一点，线段\(MB\)的垂直平分线交\(MA\)于点\(N\)，设点\(N\)的轨迹为\(C\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(y=k(x-1)\)与曲线\(C\)相交于\(P\)，\(Q\)两点，试问：在\(x\)轴上是否存在定点\(R\)，使当\(k\)变化时，总有\(∠ORP=∠ORQ\)？若存在，求出点\(R\)的坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 8．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的焦距为\(2\)，点\((1,\; \dfrac {3}{2})\)在\(C\)上．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过原点且不与坐标轴重合的直线\(l\)与\(C\)有两个交点\(A\)，\(B\)，点\(A\)在\(x\)轴上的射影为\(M\)，线段\(AM\)的中点为\(N\)，直线\(BN\)交\(C\)于点\(P\)，证明：直线\(AB\)的斜率与直线\(AP\)的斜率乘积为定值．
              难度：难
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            • 9．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，四个顶点构成的菱形的面积是\(4\)，圆\(M\)：\((x+1)^{2}+y^{2}=r^{2}(0 < r < 1).\)过椭圆\(C\)的上顶点\(A\)作圆\(M\)的两条切线分别与椭圆\(C\)相交于\(B\)，\(D\)两点\((\)不同于点\(A)\)，直线\(AB\)，\(AD\)的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)当\(r\)变化时，\(①\)求\(k_{1}⋅k_{2}\)的值；\(②\)试问直线\(BD\)是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
              难度：难
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            • 10．
              已知点\(P(2, \sqrt {2})\)是椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上的一点，且椭圆的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，过点\(A(-a,0)\)任作两条直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)分别交椭圆于\(E\)、\(F\)两点，交\(y\)轴于\(M\)，\(N\)两点，\(E\)与\(M\)两个点不重合，且\(E\)，\(F\)关于原点对称．
              \((1)\)求椭圆的方程；
              \((2)\)以\(MN\)为直径的圆是否交\(x\)轴于定点\(Q\)？若是，求出点\(Q\)的坐标；否则，请说明理由．
              难度：难
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