已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(A(- \sqrt{3},0)\)，\(B( \sqrt{3},0)\)，以线段\(AP\)为直径的圆\(C_{1}\)内切于圆\(O.\)记点\(P\)的轨迹为\(C_{2}\)．

\((1)\)证明：\(|AP|+|BP|\)为定值，并求\(C_{2}\)的方程；

\((2)\)过点\(O\)的一条直线交圆\(O\)于\(M\)，\(N\)两点，点\(D(-2,0)\)，直线\(DM\)，\(DN\)与\(C_{2}\)的另一个交点分别为\(S\)，\(T.\)记\(\triangle DMN\)，\(\triangle DST\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求\( \dfrac{S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

设椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)上三个点\(M\)，\(N\)和\(T\)，且\(M\)，\(N\)在直线\(x=8\)上的射影分别为\({{M}_{1}},{{N}_{1}}\)．

\((1)\)若直线\(MN\)过原点\(O\)，直线\(MT\)，\(NT\)斜率分别为\({{k}_{1}},{{k}_{2}}\)，求证：\({{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}\)为定值；

\((2)\)若\(M\)，\(N\)不是椭圆长轴的端点，点\(L\)坐标为\(\left( 3,0 \right)\)，\(\Delta {{M}_{1}}{{N}_{1}}L\)与\(\Delta MNL\)面积之比为\(5\)，求\(MN\)中点\(K\)的轨迹方程．

已知直线\(C\)\({\,\!}_{1}\)：\(\begin{cases}x=1+tcoaα, \\ y=t\sin α\end{cases} \)\((t\)为参数\()\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)：\(\begin{cases}x=\cos θ, \\ y=\sin θ\end{cases} \)\((θ\)为参数\()\)．

\((1)\)当\(α=\dfrac{\pi }{3}\)时，求\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的直角坐标方程，以及\(C_{1}\)与\(C_{2}\)交点的极坐标\((\rho \geqslant 0,\ \theta \in [0,\ 2\pi )\)；

\((2)\)过坐标原点\(O\)作\(C_{1}\)的垂线，垂足为\(A\)，\(P\)为\(OA\)中点，当\(α\)变化时，求\(P\)点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

已知\(A\)、\(B\)、\(C\)为\(\triangle ABC\)的三个内角，向量\(m\)满足\(|m|=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)，且\(m=(\sqrt{2}\sin \dfrac{B+C}{2},\cos \dfrac{B-C}{2})\)，若\(A\)最大时，动点\(P\)使得\(|\overrightarrow{PB}|\)、\(|\overrightarrow{BC}|\)、\(|\overrightarrow{PC}|\)成等差数列，则\(\dfrac{|\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{BC}|}\)的最大值是

已知定点\({{F}_{2}}(\sqrt{3},0)\)，\(P\)为圆\({{F}_{1}}\)：\({{(x+\sqrt{3})}^{2}}+{{y}^{2}}=24\)上任意一点，线段\(P{{F}_{2}}\)上一点\(N\)满足\( \overset{⇀}{P{F}_{2}}=2 \overset{⇀}{N{F}_{2}} \)，直线\(P{{F}_{1}}\)上一点\(Q\)，满足\( \overset{⇀}{QN}· \overset{⇀}{P{F}_{2}}=0 \)．

选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

  在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\({{C}_{1}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2\cos \alpha \\ & y=2+2\sin \alpha \\ \end{cases}(\alpha \)为参数\()\)，\(M\)为\({{C}_{1}}\)上的动点，\(P\)点满足\(\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}\)，点\(P\)的轨迹为曲线\({{C}_{2}}\)．

\((I)\)求\({{C}_{2}}\)的方程；

 \((II)\)在以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线\(\theta =\dfrac{\pi }{3}\)与\({{C}_{1}}\)的异于极点的交点为\(A\)，与\({{C}_{2}}\)的异于极点的交点为\(B\)，求\(|AB|\)．

已知\(A,B,C\)为\(\Delta ABC\)的三个内角，向量\(\overrightarrow{m}\)满足\(|\overrightarrow{m}|=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)，且\(\overrightarrow{m}=(\sqrt{2}\sin \dfrac{B+C}{2},\cos \dfrac{B-C}{2})\)，若\(A\)最大时，动点\(P\)使得\(||\overrightarrow{PB}|,|\overrightarrow{BC}|,|\overrightarrow{PC}|\)成等差数列，则\(\dfrac{\overrightarrow{|PA|}}{\overrightarrow{|BC|}}\)的最大值是\((\)      \()\)

\((1)\)过点\(P(2,4)\)作两条互相垂直的直线\(l_{1}\)、\(l_{2}\)，若\(l_{1}\)交\(x\)轴于\(A\)点，\(l_{2}\)交\(y\)轴于\(B\)点，求线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹方程．

 \((2)\)设圆上的点\(A(2,3)\)关于直线\(x+2y=0\)的对称点仍在圆上，且与直线\(x-y+1=0\)相交的弦长为\(2 \sqrt{2} \)，求圆的方程．

若动点\(M(x,y)\)满足\(\sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{|x+y-2|}{\sqrt{2}}\)，则\(M\)的轨迹为\((\)  \()\)