已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(A(- \sqrt{3},0)\)，\(B( \sqrt{3},0)\)，以线段\(AP\)为直径的圆\(C_{1}\)内切于圆\(O.\)记点\(P\)的轨迹为\(C_{2}\)．

\((1)\)证明：\(|AP|+|BP|\)为定值，并求\(C_{2}\)的方程；

\((2)\)过点\(O\)的一条直线交圆\(O\)于\(M\)，\(N\)两点，点\(D(-2,0)\)，直线\(DM\)，\(DN\)与\(C_{2}\)的另一个交点分别为\(S\)，\(T.\)记\(\triangle DMN\)，\(\triangle DST\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求\( \dfrac{S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

已知圆的公共点的轨迹为曲线，且曲线与轴的正半轴相交于点，若曲线上相异两点、满足直线，的斜率之积为．

\((\)Ⅰ\()\)求的方程；

\((\)Ⅱ\()\)证明直线恒过定点，并求定点的坐标；

已知圆\(M:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}}(r > 0)\)与直线\({{l}_{1}}:x-\sqrt{3}y+6=0\)相切，设点\(A\)为圆上一动点，\(AB\bot x\)轴于\(B\)，且动点\(N\)满足\(\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}\overrightarrow{NB}\)，设动点\(N\)的轨迹为曲线\(C\)．

\((1)\)求曲线\(C\)的方程；

\((2)\)若直线\(l\)与直线\({{l}_{1}}\)垂直且与曲线\(C\)交于\(B,D\)两点，求\(\Delta OBD\)面积的最大值．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(B\)与点\(A(-1,1)\)关于原点\(O\)对称，\(P\)是动点，且直线\(AP\)与\(BP\)的斜率之积等于\(- \dfrac{1}{3} \)，则动点\(P\)的轨迹方程________

\((1)\)若抛物线\({{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)的准线经过椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{5}=1\)的一个焦点，则该抛物线的准线方程为___________．

\((2)\)一动圆\(P\)过定点\(M(-4,0)\)，且与已知圆\(N\)：\((x-4)^{2}+y^{2}=16\)相切，则动圆圆心\(P\)的轨迹方程是__________

\((3)\)抛物线\({{{y}}^{2}}{=x}\)上的点到直线\(x-2y+4=0\)的距离最小的点的坐标是________．

\((4)\)曲线\(y=2{{x}^{2}}\)上两点\(A({x}_{1},{y}_{1}),B({x}_{2},{y}_{2}) \)关于直线\(y=x+m\)对称，\({{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-\dfrac{1}{2}\)，则\(m\)的值为__________．

已知定点\({{F}_{2}}(\sqrt{3},0)\)，\(P\)为圆\({{F}_{1}}\)：\({{(x+\sqrt{3})}^{2}}+{{y}^{2}}=24\)上任意一点，线段\(P{{F}_{2}}\)上一点\(N\)满足\( \overset{⇀}{P{F}_{2}}=2 \overset{⇀}{N{F}_{2}} \)，直线\(P{{F}_{1}}\)上一点\(Q\)，满足\( \overset{⇀}{QN}· \overset{⇀}{P{F}_{2}}=0 \)．