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          共50条信息

            • 1．

              点\(M( \sqrt {2},1)\)在椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上，且点\(M\)到椭圆两焦点的距离之和为\(2 \sqrt {5}\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)已知动直线\(y=k(x+1)\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，若\(P(- \dfrac {7}{3},0)\)，求证：\( \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\)为定值．
              难度：难
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            • 2．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，过点\(A(0,-b)\)和\(B(a,0)\)的直线与原点的距离为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆的方程；
              \((2)\)已知定点\(E(-1,0)\)，若直线\(y=kx+2(k\neq 0)\)与椭圆交于\(C\)、\(D\)两点，问：是否存在\(k\)的值，使以\(CD\)为直径的圆过\(E\)点？请说明理由．
              难度：难
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            • 3．
              已知中心在原点的椭圆\(C\)的右焦点为\(F(1,0)\)，离心率等于\( \dfrac {1}{2}\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)过椭圆右焦点且倾斜角为\(45^{\circ}\)的直线与椭圆交于\(AB\)两点，求\(AB\)的长．
              难度：难
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)：\(4x^{2}+y^{2}=1\) 及直线\(l\)：\(y=x+m\)．
              \((1)\)当\(m\)为何值时，直线\(l\)与椭圆\(C\)有公共点？
              \((2)\)若直线\(l\)与椭圆\(C\)交于两点\(A\)，\(B\)，线段\(AB\)的长为\( \dfrac {2 \sqrt {10}}{5}\)，求直线\(l\)的方程．
              难度：难
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            • 5．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左，右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，上顶点为\(A\)，\(\triangle AF_{1}F_{2}\)是斜边长为\(2 \sqrt {2}\)的等腰直角三角形．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)：\(y=x+m\)与椭圆\(C\)交于不同两点\(P\)，\(Q\)．
              \((ⅰ)\)当\(m=1\)时，求线段\(PQ\)的长度；
              \((ⅱ)\)是否存在\(m\)，使得\(S_{\triangle OPQ}= \dfrac {4}{3}\)？若存在，求出\(m\)的值；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 6．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，右顶点为\(A(2,0)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过点\((1,0)\)的直线\(l\)交椭圆于\(B\)，\(D\)两点，设直线\(AB\)斜率为\(k_{1}\)，直线\(AD\)斜率为\(k_{2}\)，求证：\(k_{1}k_{2}\)为定值．
              难度：难
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            • 7．
              已知椭圆\(F\)的两个焦点分别为\(F_{1}(-2,0)\)，\(F_{2}(2,0)\)，且经过点\(P( \dfrac {5}{2},- \dfrac {3}{2}).\)
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(F\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\triangle ABC\)的顶点都在椭圆\(F\)上，其中\(A\)，\(B\)关于原点对称，试问\(\triangle ABC\)能否为正三角形？并说明理由．
              难度：难
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            • 8．
              设椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左焦点为\(F_{1}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}.F_{1}\)为圆\(M\)：\(x^{2}+y^{2}+2x-15=0\)的圆心．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知过椭圆右焦点\(F_{2}\)的直线\(l\)交椭圆于\(A\)，\(B\)两点，过\(F_{2}\)且与\(l\)垂直的直线\(l_{1}\)与圆\(M\)交于\(C\)，\(D\)两点，求四边形\(ABCD\)面积的取值范围．
              难度：难
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            • 9．
              已知直线\(x+y=m\)与圆\(x^{2}+y^{2}=1\)相交于\(P\)、\(Q\)两点，且\(∠POQ=120^{\circ}(\)其中\(O\)为原点\()\)，那么\(m\)的值为 ______ ．
              难度：难
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            • 10．
              已知直线\(l： \sqrt {3}x-y+1=0\)，方程\(x^{2}+y^{2}-2mx-2y+m+3=0\)表示圆．
              \((\)Ⅰ\()\)求实数\(m\)的取值范围；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(m=-2\)时，试判断直线\(l\)与该圆的位置关系，若相交，求出相应弦长．
              难度：难
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