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          共50条信息

            • 1．
              已知双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}\)，过点\(A(0,-b)\)和点\(B(a,0)\)的直线与原点的距离为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，求此双曲线的方程．
              难度：难
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            • 2．
              已知双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(b > a > 0)\)的右焦点为\(F\)，\(O\)为坐标原点，若存在直线\(l\)过点\(F\)交双曲线\(C\)的右支于\(A\)，\(B\)两点，使\( \overrightarrow{OA}⋅ \overrightarrow{OB}=0\)，则双曲线离心率的取值范围是 ______ ．
              难度：难
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            • 3．
              已知\(F\)是双曲线\( \dfrac {x^{2}}{4}- \dfrac {y^{2}}{12}=1\)的左焦点，\(A(1,4)\)，\(P\)是双曲线右支上的动点，则\(|PF|+|PA|\)的最小值为 ______ ．
              难度：难
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            • 4．

              中心在原点的双曲线\(C\)的右焦点为\(F\left( \dfrac{ \sqrt{6}}{2},0\right) \)，渐近线方程为\(y=\pm \sqrt{2}x\)．

              \((I)\)求双曲线\(C\)的方程；

              \((II)\)直线\(l:y=kx-1\)与双曲线\(C\)交于\(P,Q\)两点，试探究，是否存在以线段\(PQ\)为直径的圆过原点\(.\)若存在，求出\(k\)的值，若不存在，请说明理由．

              难度：难
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            • 5．

              已知经过点\(M(4,1)\)的直线\(l\)交双曲线\({{x}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{2}-1\)于\(A\)，\(B\)两点，且\(M\)是\(AB\)的中点，则直线\(l\)的方程为________．

              难度：难
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            • 6．

              设点\(A(0,1)\)，\(B(2,-1)\)，点\(C\)在双曲线\(M:\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-{{y}^{2}}=1\)上，则使\(\triangle ABC\)的面积为\(3\)的点\(C\)的个数为

              A．\(4\)
              B．\(3\)
              C．\(2\)
              D．\(1\)
              难度：难
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            • 7． 在平面直角坐标系中，\(O\)为坐标原点，给定两点\(A(1,0)\)，\(B(0,-2)\)，点\(C\)满足\( \overrightarrow{OC}=(m \overrightarrow{OA}+n \overrightarrow{OB})\)，其中\(m\)，\(n∈R\)且\(m-2n=1\)．
              \((1)\)求点\(C\)的轨迹方程；
              \((2)\)设点\(C\)的轨迹与双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0\)且\(a\neq b)\)交于\(M\)、\(N\)两点，且以\(MN\)为直径的圆过原点，求证：\( \dfrac {1}{a^{2}}- \dfrac {1}{b^{2}}\)为定值；
              \((3)\)在\((2)\)的条件下，若双曲线的离心率不大于\( \sqrt {3}\)，求双曲线实轴长的取值范围．
              难度：难
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            • 8．

              已知双曲线\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}- \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(\)\(a\)\( > 0\)，\(b\)\( > 0)\)的离心率为\(2\)，焦点到渐近线的距离等于\( \sqrt{3}\)，过右焦点\(F\)\({\,\!}_{2}\)的直线\(l\)交双曲线于\(A\)、\(B\)两点，\(F\)\({\,\!}_{1}\)为左焦点．

              \((1)\)求双曲线的方程；

              \((2)\)若\(\triangle \)\(F\)\({\,\!}_{1}\)\(AB\)的面积等于\(6 \sqrt{2}\)，求直线\(l\)的方程．

              难度：难
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            • 9．

              已知双曲线\(C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\left(a > 0,b > 0\right) \)的右焦点为\(F\)，过\(F\)向双曲线的一条渐近线引垂线垂足为\(M\)，与另一条渐近线于点\(N.\)若\(2 \overrightarrow{MF}= \overrightarrow{FN} \)，则双曲线的离心率为___________________．

              难度：难
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            • 10．

              双曲线\(C\)：\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{{2}}}=1 (a > 0,b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}(-c,0)\)、\(F_{2}(c,0)\)，\(M\)、\(N\)两点在双曲线\(C\)上，且\(MN/\!/F_{1}F_{2}\)，\(|F_{1}F_{2}|=4|MN|\)，线段\(F_{1}N\)交双曲线\(C\)于点\(Q\)，且\(|F_{1}Q|=|QN|\)，则双曲线\(C\)的离心率为

              A．\(2\)
              B．\( \sqrt{3} \)
              C．\( \sqrt{5} \)
              D．\( \sqrt{6} \)
              难度：难
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