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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一个长轴顶点为\(A(2,0)\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，直线\(y=k(x-1)\)与椭圆\(C\)交于不同的两点\(M\)，\(N\)，
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(\triangle AMN\)的面积为\( \dfrac { \sqrt {10}}{3}\)时，求\(k\)的值．
              难度：难
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            • 2．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，点\((2,1)\)在椭圆\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设直线\(l\)与圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=2\)相切，与椭圆\(C\)相交于\(P\)，\(Q\)两点．
              \(①\)若直线\(l\)过椭圆\(C\)的右焦点\(F\)，求\(\triangle OPQ\)的面积；
              \(②\)求证：\(OP⊥OQ\)．
              难度：难
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            • 3．
              已知点\(P\)是椭圆\(C\)上任一点，点\(P\)到直线\(l_{1}\)：\(x=-2\)的距离为\(d_{1}\)，到点\(F(-1,0)\)的距离为\(d_{2}\)，且\( \dfrac { d_{ 2 }}{d_{1}}= \dfrac { \sqrt {2}}{2}.\)直线\(l\)与椭圆\(C\)交于不同两点\(A\)、\(B(A,B\)都在\(x\)轴上方\()\)，且\(∠OFA+∠OFB=180^{\circ}\)．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)当\(A\)为椭圆与\(y\)轴正半轴的交点时，求直线\(l\)方程；
              \((3)\)对于动直线\(l\)，是否存在一个定点，无论\(∠OFA\)如何变化，直线\(l\)总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 4．
              离心率\(e= \dfrac {2}{3}\)，焦距\(2c=16\)的椭圆的标准方程为 ______ ．
              难度：难
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            • 5．
              已知椭圆方程为\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)，其右焦点为\(F(4,0)\)，过点\(F\)的直线交椭圆与\(A\)，\(B\)两点\(.\)若\(AB\)的中点坐标为\((1,-1)\)，则椭圆的方程为\((\)　　\()\)
              A．\( \dfrac {x^{2}}{45}+ \dfrac {y^{2}}{36}=1\)
              B．\( \dfrac {x^{2}}{12}+ \dfrac {y^{2}}{4}=1\)
              C．\( \dfrac {x^{2}}{24}+ \dfrac {y^{2}}{8}=1\)
              D．\( \dfrac {x^{2}}{18}+ \dfrac {y^{2}}{9}=1\)
              难度：难
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            • 6．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，焦距为\(2\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)已知椭圆\(C\)与直线\(x-y+m=0\)相交于不同的两点\(M\)、\(N\)，且线段\(MN\)的中点不在圆\(x^{2}+y^{2}=1\)内，求实数\(m\)的取值范围．
              难度：难
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            • 7．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为\(4\)
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)四边形\(ABCD\)的顶点在椭圆\(C\)上，且对角线\(AC\)，\(BD\)均过坐标原点\(O\)，若\(k_{AC}⋅k_{BD}=- \dfrac {1}{4}\)
              \((i)\)求\( \overrightarrow{OA}⋅ \overrightarrow{OB}\)的范围；\((ii)\)求四边形\(ABCD\)的面积．
              难度：难
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            • 8．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，直线\(y=1\)与\(C\)的两个交点间的距离为\( \dfrac {4 \sqrt {6}}{3}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)分别过\(F_{1}\)、\(F_{2}\)作\(l_{1}\)、\(l_{2}\)满足\(l_{1}/\!/l_{2}\)，设\(l_{1}\)、\(l_{2}\)与\(C\)的上半部分分别交于\(A\)、\(B\)两点，求四边形\(ABF_{2}F_{1}\)面积的最大值．
              难度：难
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            • 9．
              已知椭圆\(W： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，其左顶点\(A\)在圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=16\)上．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(W\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若点\(P\)为椭圆\(W\)上不同于点\(A\)的点，直线\(AP\)与圆\(O\)的另一个交点为\(Q.\)是否存在点\(P\)，使得\( \dfrac {|PQ|}{|AP|}=3\)？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，说明理由．
              难度：难
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            • 10．
              设椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac {1}{2}\)，右焦点到直线\( \dfrac {x}{a}+ \dfrac {y}{b}=1\)的距离\(d= \dfrac { \sqrt {21}}{7}\)，\(O\)为坐标原点．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过点\(O\)作两条互相垂直的射线，与椭圆\(C\)分别交于\(A\)，\(B\)两点，证明点\(O\)到直线\(AB\)的距离为定值，并求弦\(AB\)长度的最小值．
              难度：难
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