知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率 $e%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，且经过点 $M%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A01%29$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差数列，求直线l的方程．

难度：难

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2．已知点M，N分别是椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，椭圆的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．

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3．如图，F₁，F₂分别是椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，动弦AB平行于x轴，且|F₁A|+|F₁B|=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF₂、NF₂的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁•k₂是定值．

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4．已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率 $e%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，且其中一个焦点与抛物线 $y%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7Dx%5E%7B2%7D$ 的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（ $-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

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5．已知点P（2， $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ）是椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）上的一点，且椭圆的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，过点A（-α，0）任作两条直线l₁，l₂分别交椭圆于E、F两点，交y轴于M，N两点，E与M两个点不重合，且E，F关于原点对称．
（1）求椭圆的方程；
（2）以MN为直径的圆是否交x轴于定点Q？若是，求出点Q的坐标；否则，请说明理由．

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6．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 过点 $%281%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ ，且焦距为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点P（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点 $G%280%EF%BC%8C-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29$ ，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程．

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7．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．

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8．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的两个焦点为 $F_%7B1%7D%EF%BC%8CF_%7B2%7D%EF%BC%8C%7CF_%7B1%7DF_%7B2%7D%7C%3D2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，点A，B在椭圆上，F₁在线段AB上，且△ABF₂的周长等于 $4%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

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9．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx- $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ 与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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