知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．向量 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Ba%7D%3D%28sinx%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%EF%BC%8C%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bb%7D%3D%28%20%5Csqrt%20%7B3%7Dcosx%2Bsinx%EF%BC%8C-1%29$ ，函数 $f%28x%29%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Ba%7D%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bb%7D$ ，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间 $%5B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ 上的最大值和最小值．

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2．点A（1，a，0）和点B（1-a，2，1）的距离的最小值为 ______ ．

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3．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（3，0）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（-5，5）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ =（2，k）
（1）求向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的夹角；
（2）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ∥ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ ，求k的值；
（3）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ⊥（ $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ ），求k的值．

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4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（1，2），B（-3，4）．
（Ⅰ）求向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ 的坐标及| $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ |；
（Ⅱ）求向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的夹角的余弦值．

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5．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（1，2）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（-3，2）．
（1）求| $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |和| $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ - $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |；
（2）当k为何值时，（k $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ）∥（ $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ -3 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ）．

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6．已知平面α内有一个点M（1，-1，2），平面α的一个法向量是 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（6，-3，6），则下列点P中在平面α内的是（　　）

A．P（2，3，3）

B．P（-2，0，1）

C．P（-4，4，0）

D．P（3，-3，4）

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7．若向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（2，2，-1）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（3，λ，4）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 、 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的夹角的余弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B15%7D$ ，则λ= ______ ．

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8．已知圆O：x²+y²=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b(b＞0)与圆O相切并与椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%3D1$ 交于不同的两点A、B．
(1)设b=f(k)，求f(k)的表达式；
(2)若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ，求直线l的方程；
(3)若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3Dm%28%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D%5Cleq%20m%5Cleq%20%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D%29$ ，求三角形OAB面积的取值范围．

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9．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3Eb%3E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，a= $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线x-my+1=0与椭圆C相交于A、B两点．
①若点M(- $%20%5Cfrac%20%7B7%7D%7B3%7D$ ，0)，求证： $%20%5Coverrightarrow%20%7BMA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BMB%7D$ 为定值；
②求三角形OAB面积的最大值(O为坐标原点)．

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10．如图，已知椭圆 $C%3A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3Eb%3E0%29$ 的左、右焦点分别为F₁(0，c)、F₂(0，-c)(c＞0)，抛物线P：x²=2py(p＞0)的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，与椭圆C相交于A、B两点，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B2%7DB%7D$ = $%5Clambda%20%20%5Coverrightarrow%20%7BAF_%7B2%7D%7D$ ．
(1)求证：切线l的斜率为定值；
(2)若动点T满足： $%20%5Coverrightarrow%20%7BET%7D%3D%5Cmu%20%28%20%5Coverrightarrow%20%7BEF_%7B1%7D%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BEF_%7B2%7D%7D%29%2C%5Cmu%20%5Cin%20%280%2C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29$ ，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BET%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOT%7D$ 的最小值为 $-%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B4%7D$ ，求抛物线P的方程；
(3)当λ∈[2，4]时，求椭圆离心率e的取值范围．

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