知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%3D%28sinx%EF%BC%8C-cosx%29%EF%BC%8C%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%3D%28%20%5Csqrt%20%7B3%7Dcosx%EF%BC%8Ccosx%29$ ，设函数 $f%28x%29%3D%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ；
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x $%E2%88%88%5B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ 求函数f（x）的最值及对应的x的值；-
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x $%E2%88%88%5B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ 恒成立，求实数m的取值范围．

难度：难

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2．已知△ABC的角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，且C= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，设向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ =（a，b）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（sinB，sinA）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bp%7D$ =（b-2，a-2）．
（1）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ ∥ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ ，求B；
（2）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ ⊥ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bp%7D$ ，S_△ABC= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求边长c．

难度：难

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3．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的夹角为 $%20%5Cfrac%20%7B2%CF%80%7D%7B3%7D$ ， $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%7C%3D2$ ，| $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |=3，记 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%3D3%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D-2%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2Bk%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$
（I）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ ，求实数k的值；
（II）当 $k%3D-%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ 时，求向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ 的夹角θ．

难度：难

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4．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（cosα，sinα）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（cosβ，sinβ）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ =（-1，0）．
（1）求向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ 的长度的最大值；
（2）设α= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ⊥（ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ ），求cosβ的值．

难度：难

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5．
如图，在直三棱柱$A_{1}B_{1}C_{1}-ABC$中，$AB=AC=AA_{1}$，$BC= \sqrt {2}AB$，点$D$是$BC$的中点．
$(I)$求证：$AD⊥$平面$BCC_{1}B_{1}$；
$(II)$求证：$A_{1}B/\!/$平面$ADC_{1}$；
$(III)$求二面角$A-A_{1}B-D$的余弦值．

难度：难

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6． $18.$如图，三棱柱 $ABC$ $A$${\,\!}_{1}$ $B$${\,\!}_{1}$ $C$${\,\!}_{1}$中，侧面 $BB$${\,\!}_{1}$ $C$${\,\!}_{1}$ $C$为菱形， $AB$$⊥$ $B$${\,\!}_{1}$ $C$．

$(1)$证明：$AC$$=$$AB$${\,\!}_{1}$；

$(2)$若$AC$$⊥$$AB$${\,\!}_{1}$，$∠$$CBB$${\,\!}_{1}=60^{\circ}$，$AB$$=$$BC$，求二面角$A$$A$${\,\!}_{1}$$B$${\,\!}_{1}$$C$${\,\!}_{1}$的余弦值．

难度：难

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7．

$(1)$抛物线$y=4{{x}^{2}}$的准线方程为___________．

$(2)$若“任意$x∈R $，${{x}^{2}}-2x-m > 0$”是真命题，则实数$m$的取值范围是__________．

$(3)$过抛物线${{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)$的焦点$F$作倾斜角为$45^{\circ}$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，若线段$AB$的长为$8$，则$p =$___________．

$(4)$已知圆${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-9=0$与$y$轴的两个交点$A$，$B$都在某双曲线上，且$A$，$B$两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为．

$(5)$如图，在空间四边形$ABCD$中，$AC$和$BD$为对角线，$G$为$\triangle $$ABC$的重心，$E$是$BD$上一点，$BE=3ED $，以$\{ \overset{⇀}{AB}, \overset{⇀}{AC}, \overset{⇀}{AD} \}$为基底，则$=$__________．

难度：难

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8．

已知空间三点$A(0,2,3)$，$B(-2,1,6)$，$C(1,-1,5)$，

$(1)$求以向量$\overset{\to }{{AB}}\,,\overset{\to }{{AC}}\,$为一组邻边的平行四边形的面积$S$．

$(2)$若向量$\overset{\to }{{a}}\,$分别与向量$\overset{\to }{{AB}}\,,\overset{\to }{{AC}}\,$垂直，且$|\overset{\to }{{a}}\,|=\sqrt{3}$ ，求向量$\overset{\to }{{a}}\,$的坐标．

难度：难

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9．
．如图，在棱长为$a$的正方体$ABCD-A$${\,\!}_{1}$$B$${\,\!}_{1}$$C$${\,\!}_{1}$$D$${\,\!}_{1}$中，点$E$是棱$D$${\,\!}_{1}$$D$的中点，点$F$在棱$B$${\,\!}_{1}$$B$上，且满足$B$${\,\!}_{1}$$F=$$2$$BF$．

$(1)$求证：$EF$$⊥$$A$${\,\!}_{1}$$C$${\,\!}_{1};$

$(2)$在棱$C$${\,\!}_{1}$$C$上确定一点$G$，使$A$，$E$，$G$，$F$四点共面，并求此时$C$${\,\!}_{1}$$G$的长．

难度：难

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