知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．

在正方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)中，点\(P\)是线段\(B{{C}_{1}}\)上的动点，则下列命题中正确的是____________\((\)写出所有正确命题的序号\()\)

\(①\)存在点\(P\)，使得\({{A}_{1}},D,C,P\)四点共面；

\(②\)三棱锥\(P-AC{{D}_{1}}\)的体积是定值；

\(③\)异面直线\({{A}_{1}}D\)和\(AP\)所成的角是定值；

\(④\)二面角\(P-A{{D}_{1}}-C\)的平面角的大小是定值；

\(⑤\)直线\({{A}_{1}}P\)与平面\(BC{{C}_{1}}{{B}_{1}}\)所成角的范围是\([45{}^\circ ,60{}^\circ ]\)

难度：难

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3．
如图，直三棱柱\(ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \)中，\(D\)是\(AB\)的中点．

\((1)\)证明：\(B{C}_{1}/\!/ \)平面\({A}_{1}CD \)；

\((2)\)设\(A{A}_{1}=AC=CB=2 \)，\(AB=2 \sqrt{2} \)，求异面直线\(A{B}_{1}与CD \)所成角的大小

难度：难

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4．

在正方体\(ABCD—A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，点\(P\)在线段\(AD_{1}\)上运动，则异面直线\(CP\)与\(BA_{1}\)所成角\(θ\)的取值范围是

A．\(0 < \theta < \dfrac{\pi }{2}\)

B．\(0 < \theta \leqslant \dfrac{\pi }{2}\)

C．\(0\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi }{3}\)

D．\(0 < \theta \leqslant \dfrac{\pi }{3}\)

难度：难

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5．

斜三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，底面边长和侧棱长都相等，\(\angle BA{{A}_{1}}=\angle CA{{A}_{1}}=\dfrac{\pi }{3}\) ，则异面直线\(AB_{1}\)与\(BC_{1}\)所成角的余弦值为____________．

难度：难

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6．
\((1)\)不等式\(\dfrac{1}{x} < 1\)的解集是________．

\((2)\)已知\(a\)，\(b\)是互异的正数，\(A\)是\(a\)，\(b\)的等差中项，\(G\)是\(a\)，\(b\)的正的等比中项，则\(A\)________\(G( > , < ,\geqslant ,\leqslant \)选填其中一个\()\)．

\((3)\)已知\(\sin (60{}^\circ +\alpha )=\dfrac{5}{13}\)，\(30^{\circ} < a < 120^{\circ}\)，则\(\cos α=\)________．

\((4)\)如图在正方体\(ABCD—A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，给出以下结论

\(①A_{1}C_{1}\)与平面\(A_{1}B_{1}CD\)成\(45^{\circ}\)角；

\(②CD_{1}\)与\(BC_{1}\)成\(60^{\circ}\)角；

\(③{{V}_{B1}}_{-{{A}_{1}}B{{C}_{1}}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{B}}{{_{1}}_{-A{{D}_{1}}C}}\)；

\(④\)正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表而积之比为\(1︰2︰3\)其中正确的结论序号是________\(.(\)写出所有正确结论的序号\()\)

难度：难

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7．如图，在四面体\(ABCD\)中，截面\(PQMN\)是正方形，则命题中\(①AC⊥BD\)；\(②AC/\!/\)截面\(PQMN\)；\(③AC=BD\)；\(④\)异面直线\(PM\)与\(BD\)所成的角为\(45^{\circ}.\) 正确的为 \((\)填序号\()\)

难度：难

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8．

\(a\)，\(b\)是一对异面直线，且\(a\)，\(b\)成_{\({{80}^{{}^\circ }}\)}角，\(P\)为空间一定点，则在过\(P\)点的直线中与\(a\)，\(b\)所成的角都为_{\({{50}^{{}^\circ }}\)}的直线有条\(.\)

难度：难

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9．四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA\bot \)平面\(ABCD\)，\(ABCD\)为正方形，\(AB=PA=2\)，\(M\)、\(N\)分别是\(PA\)，\(PB\)的中点，则\(MD\)与\(AN\)所成角的余弦值为_________．

难度：难

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10．
如图，在棱长为\(1\)的正方体\(AC_{1}\)中，\(E\)、\(F\)分别为\(A_{1}D_{1}\)和\(A_{1}B_{1}\)的中点．
\((1)\)求异面直线\(AF\)和\(BE\)所成的角的余弦值：
\((2)\)求平面\(ACC_{1}\)与平面\(BFC_{1}\)所成的锐二面角：
\((3)\)若点\(P\)在正方形\(ABCD\)内部或其边界上，且\(EP/\!/\)平面\(BFC_{1}\)，求\(EP\)的取值范围．

难度：难

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