知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，平面$ABEF⊥$平面$ABC$，四边形$ABEF$为矩形，$AC=BC$，$O$为$AB$的中点，$OF⊥EC$．
$($Ⅰ$)$求证：$OE⊥FC$；
$($Ⅱ$)$若$AC= \sqrt {3}.AB=2$时，求三棱锥$O-CEF$的体积．

难度：难

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2．
如图，$EA⊥$平面$ABC$，$DB⊥$平面$ABC$，$\triangle ABC$是等边三角形，$AC=2AE$，$M$是$AB$的中点．
$($Ⅰ$)$求证：$CM⊥EM$；
$($Ⅱ$)$若直线$DM$与平面$ABC$所成角的正切值为$2$，求二面角$B-CD-E$的余弦值．

难度：难

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3．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥侧面ABB₁A₁，∠B₁A₁A=∠C₁A₁A=60°，AA₁=AC=4，AB=1．
（Ⅰ）求证：A₁B₁⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求三棱锥ABC-A₁B₁C₁的侧面积．

难度：难

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4．如图，三棱柱ABF-DCE中，∠ABC=120°，BC=2CD，AD=AF，AF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BD⊥EC；
（Ⅱ）若AB=1，求四棱锥B-ADEF的体积．

难度：难

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5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥平面AA₁C₁C，BC=CA=AA₁=2，∠CAA₁=60°．
（1）求证：AC₁⊥A₁B；
（2）求直线A₁B与平面BAC₁所成角的正弦值．

难度：难

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6．如图，四棱锥M-ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．
（1）求证：DE⊥MB；
（2）若DC=2，求三棱锥M-EBC的体积．

难度：难

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7．
如图，四棱锥$P-ABCD$的底面为矩形，$PA⊥$底面$ABCD$，$E$，$F$分别为$AB$，$PC$的中点，$AB= \sqrt {2}AD$．
$($Ⅰ$)$求证：$EF/\!/$平面$PAD$；
$($Ⅱ$)$求证：$DE⊥PC$．

难度：难

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8．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，
AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ AD，E是线段AB中点．
（1）求证：PE⊥CD；
（2）求三棱锥P-CDE的表面积．

难度：难

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9．如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，
∠BAD=60°平面ABE与直线PA，PD分别交于点E，F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，试求三棱锥A-PBD的体积．

难度：难

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10．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，∠ACB=30°．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求三棱锥P-ABC的体积．

难度：难

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