如图，四棱锥\(P-ABCD\)的底面边长为\(8\)的正方形，四条侧棱长均为\(2\sqrt{17}\)\(.\)点\(G,E,F,H\)分别是棱\(PB,AB,CD,PC\)上共面的四点，平面\(GEFH\bot \)平面\(ABCD\)，\(BC/\!/\)平面\(GEFH\)．

    \((1)\)证明：\(GH/\!/EF;\)

    \((2)\)若\(EB=2\)，求四边形\(GEFH\)的面积．

如图：高为\(1\)的等腰梯形\(ABCD\)中，\(AM=CD=\dfrac{1}{3}AB=1\)，\(M\)为\(AB\)的三等分点\(.\)现将\(\triangle AMD\)沿\(MD\)折起，使平面\(AMD⊥\)平面\(MBCD\)，连接\(AB\)、\(AC\)．

\((\)Ⅰ\()\)在\(AB\)边上是否存在点\(P\)，使\(AD/\!/\)平面\(MPC\)？

\((\)Ⅱ\()\)当点\(P\)为\(AB\)边中点时，求点\(B\)到平面\(MPC\)的距离．

如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(∠B_{1}A_{1}A=∠C_{1}A_{1}A=60^{\circ}\)，\(AA_{1}=AC=4\)，\(AB=2\)，\(P\)，\(Q\)分别为棱\(AA_{1}\)，\(AC\)的中点．

\((1)\)在平面\(ABC\)内过点\(A\)作\(AM/\!/\)平面\(PQB_{1}\)交\(BC\)于点\(M\)，并写出作图步骤，不要求证明；

\((2)\)若侧面\(ACC_{1}A_{1}⊥\)侧面\(ABB_{1}A_{1}\)，求直线\(A_{1}C_{1}\)与平面\(PQB_{1}\)所成角的正弦值．

设\(m,\ \ n\)为两条直线，\(\alpha ,\ \ \beta \)为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是\((\)　　\()\)

\((1)\)某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了\(4\)次试验，得到的数据如下：

若加工时间\(y\)与零件个数\(x\)的线性回归方程为\(y\)\(=0.7\)\(x\)\(+a\)，则加工\(10\)个零件的时间预估              小时

\((2)\)将全体正整数排成一个三角形数阵：

          \(1\)

        \(2\)   \(3\)

     \(4\)   \(5\)   \(6\)

   \(7\)   \(8\)   \(9\)  \(10\)

\(. . . . . .\) ．

按照以上排列的规律，第\(n\) 行\((n\geqslant 3 )\)从左向右的第\(3\)个数为                ．

\((3)\)直三棱柱\(ABC−{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \)中，底面是正三角形，三棱柱的高为\(\sqrt{3}\)，若\(P\)是\(\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中心，且三棱柱的体积为\(\dfrac{9}{4}\)，则直线\(PA\)与\({{A}_{1}}B\)所成的角大小的余弦值为          

\((4)\)如图，在透明塑料制成的长方体\(ABCD−{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} \)容器内灌进一些水，将容器底面一边\(BC \)固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

\(①\)水的部分始终呈棱柱状；

\(②\)水面四边形\(EFGH\)的面积不改变；

\(③\)棱\({A}_{1}{D}_{1} \)始终与水面\(EFGH \)平行；

\(④\)当\(E∈A{A}_{1} \)时，\(AE+BF\)是定值．

其中正确说法是              。

如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，平面\(PAB⊥\)平面\(ABCD\)，\(AD/\!/BC\)，\(∠ADC=90^{\circ}\)，\(BC=DC=\)\( \dfrac{1}{2}\)\(AD.\) 设平面\(PAB∩\)平面\(PCD=m\)．

\((1)\)试作出直线\(m(\)写出作图步骤，无需证明\()\)，并证明：\(BD⊥m\)；

\((2)\)点\(M\)是\(PA\)的中点，\(N\)在\(PD\)上，且\(MN/\!/\)平面\(PBC\)，求证：\(N\)是\(PD\)的中点．

如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是菱形，且\(∠ABC=120^{\circ}.\)点\(E\)是棱\(PC\)的中点，平面\(ABE\)与棱\(PD\)交于点\(F\)．

\((1)\)求证：\(AB\)\(/\!/\)\(EF\)；

\((2)\)若\(PA=PD=AD=2\)，且平面\(PAD⊥\)平面\(ABCD\)，求三棱锥\(P-AEF\)的体积；