知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA₁ ， M是AB的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上一点．
（Ⅰ）若DE∥平面A₁MC₁ ，求 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）求直线BG和平面A₁MC₁所成角的余弦值．

难度：难

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2．如图，直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与平面ACB₁都平行？证明你的结论．

难度：难

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3．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱BC，CC₁的中点，P是侧面BCC₁B₁内一点，若A₁P∥平面AEF，则线段A₁P长度的取值范围是 ______ ．

难度：难

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4．
如图，直棱柱$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，底面$ABCD$是直角梯形，$∠BAD=∠ADC=90^{\circ}$，$AB=2AD=2CD=2$．
$(1)$求证：$AC⊥$平面$BB_{1}C_{1}C$；
$(2)$在$A_{1}B_{1}$上是否存一点$P$，使得$DP$与平面$BCB_{1}$与平面$ACB_{1}$都平行？证明你的结论．

难度：难

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5．
如图，半圆$O$的直径$AB$长为$2$，$E$是半圆$O$上除$A$，$B$外的一个动点，矩形$ABCD$所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且$\tan ∠DBA= \dfrac {1}{2}$，设平面$ECD$与半圆弧的另一个交点为$F$．
$(1)$求证：$EF/\!/BA$；
$(2)$若$EF=1$，求三棱锥$E-ADF$的体积．

难度：难

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6．
如图所示，在三棱锥$P$$ABQ$中，$PB$$⊥$平面$ABQ$，$BA$$=$$BP$$=$$BQ$，$D$，$C$，$E$，$F$分别是$AQ$，$BQ$，$AP$，$BP$的中点，$AQ$$=2$$BD$，$PD$与$EQ$交于点$G$，$PC$与$FQ$交于点$H$，连接$GH$．

$(1)$求证：$AB$$/\!/$$GH$；

$(2)$求二面角$D-$$GH$$-E$的余弦值．

难度：难

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7．

已知四棱锥$S-ABCD$中，底面$ABCD$是边长为$2$的菱形，$\angle BAD=60{}^\circ $，$SA=SD=\sqrt{5}$，$SB=\sqrt{7}$点$E$是棱$AD$的中点，点$F$在棱$SC$上，且$\dfrac{SF}{SC}=\lambda $，$SA{\parallel }$平面$BEF$．

$($Ⅰ$)$求实数$\lambda $的值；

$($Ⅱ$)$求三棱锥$F-EBC$的体积．

难度：难

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8．
如图，在四棱锥$E-ABCD$中，$AE\bot DE$，$CD\bot $平面$ADE$，$AB\bot $平面$ADE$，$CD=DA=6$，$AB=2$，$DE=3$．

$($Ⅰ$)$求棱锥$C-ADE$的体积；

$($Ⅱ$)$求证：平面$ACE\bot $平面$CDE$；

$($Ⅲ$)$在线段$DE$上是否存在一点$F$，使$AF{/\!/}$平面$BCE$？若存在，求出$\dfrac{EF}{ED}$的值；若不存在，说明理由．

难度：难

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9．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中点．
（Ⅰ）证明：ED⊥PE；
（Ⅱ）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由．

难度：难

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10．
如图，在棱长为$1$的正方体$AC_{1}$中，$E$、$F$分别为$A_{1}D_{1}$和$A_{1}B_{1}$的中点．
$(1)$求异面直线$AF$和$BE$所成的角的余弦值：
$(2)$求平面$ACC_{1}$与平面$BFC_{1}$所成的锐二面角：
$(3)$若点$P$在正方形$ABCD$内部或其边界上，且$EP/\!/$平面$BFC_{1}$，求$EP$的取值范围．

难度：难

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