【选修\(4-4\)：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，以原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线\(C:\rho {{\sin }^{2}}\theta =2a\cos \theta \left( a > 0 \right)\)，已知过点\(P\left( -2,-4 \right)\)的直线\(l\)的参数方程为：\(\begin{cases}x=-2+ \dfrac{ \sqrt{2}}{2}t \\ y=-4+ \dfrac{ \sqrt{2}}{2}t\end{cases}\left(t为参数\right) \)，直线\(l\)与曲线\(C\)分别交于\(M\)，\(N\)两点．

\((1)\)写出曲线\(C\)和直线\(l\)的普通方程；

\((2)\)若\(\left| PM \right|\)，\(\left| MN \right|\)，\(\left| PN \right|\)成等比数列，求\(a\)的值．

已知曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)的极坐标方程是\(ρ=1\)，在以极点\(O\)为坐标原点，极轴为\(x\)轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)所有点的横坐标伸长为原来的\(3\)倍，得到曲线\(C\)\({\,\!}_{2}\)．
\((1)\)求曲线\(C\)\({\,\!}_{2}\)的参数方程；

\((2)\)直线\(l\)过点\(M(1,0)\)，倾斜角为\( \dfrac{π}{4}\)，与曲线\(C\)\({\,\!}_{2}\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(|MA|·|MB|\)的值．

已知曲线\({{C}_{1}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=4+5\cos t, \\ & y=5+5\sin t \\ \end{cases}(t\)为参数\()\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\({{C}_{2}}\)的极坐标方程为\(\rho =2\sin \theta \)。

\((\)Ⅰ\()\)把\({{C}_{1}}\)的参数方程化为极坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)求\({{C}_{1}}\)与\({{C}_{2}}\)交点的极坐标\((\rho \geqslant 0,0\leqslant \theta < 2\pi )\)。

\((1)\)用辗转相除法求两个数\(228\)，\(1995\)的最大公约数为\(­­­­­­­­­­­­­­­­­­\)        

\((2)\)点\(B\)是点\(A\left( 1,2,3 \right)\)在坐标平面\(yOz\)内的射影，则\(\left| OB \right|\)等于____________．

\((3)\)圆\(O_{1}\)：\((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4\)与圆\(O_{2}\)：\((x+1)^{2}+(y-1)^{2}=9\)的公切线有________ 条\(.\)

\((4)\)如图所示，已知\(G\)，\(G_{1}\)分别是棱长为\(4\)的正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的下底面和上地面的中心，点\(P\)在线段\(GG_{1}\)上运动，点\(Q\)在下底面\(ABCD\)内运动，且始终保持\(PQ=2\)，则线段\(PQ\)的中点\(M\)运动形成的曲面与正方体下底面所围成的几何体的体积为 ________．

已知曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2+ \sqrt{5}\cos α \\ y=1+ \sqrt{5}\sin α\end{cases} (α\)为参数\()\)，以直角坐标系原点\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系．

\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C\)的极坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)设\({l}_{1}:q= \dfrac{p}{6} \)，\({l}_{2}:q= \dfrac{p}{3} \)，若\(l_{1}\)、\(l_{2}\)与曲线\(C\)相交于异于原点的两点\(A\)、\(B\)，求\(\triangle AOB\)的面积．

已知曲线\(C\) 的参数方程为\(\begin{cases}x=2+ \sqrt{5}\cos α \\ y=1+ \sqrt{5}\sin α\end{cases} (α\)为参数\()\)，以直角坐标系原点\(O\) 为极点，\(x\) 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C\) 的极坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)设\({l}_{1}:θ= \dfrac{π}{6},{l}_{2}:θ= \dfrac{π}{3} \)，若\(l\)\({\,\!}_{1}\)、\(l\)\({\,\!}_{2}\)与曲线\(C\) 相交于异于原点的两点\(A\)、\(B\)，求\(\triangle \)\(AOB\) 的面积．