知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

关于极坐标系的下列叙述正确的是________．

\(①\)极轴是一条射线；

\(②\)极点的极坐标是\((0,0)\)；

\(③\)点\((0,0)\)表示极点；

\(④\)点\(M(4, \dfrac{π}{4})\)与点\(N(4, \dfrac{5π}{4})\)表示同一个点．

难度：难

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2．
选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

    在直角坐标系\(xOy\)中，以\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆\(C\)的极坐标方程为\(\rho =2\sqrt{2}\cos ({ }\!\!\theta\!\!{ }+\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4})\)，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=t \\ y=-1+2 \sqrt{2}t\end{cases} (t\)为参数\()\)，直线\(l\)和圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(P\)是圆\(C\)上不同于\(A\)，\(B\)的任意一点．

    \((\)Ⅰ\()\)求圆心的极坐标；

    \((\)Ⅱ\()\)求\(\triangle PAB\)面积的最大值．

    选修\(4-5\)：不等式选讲

    设关于\(x\)的不等式\(|2x-a|+|x+3|\geqslant 2x+4\)的解集为\(A\)．

    \((\)Ⅰ\()\)若\(a=1\)，求\(A\)；

    \((\)Ⅱ\()\)若\(A=R\)，求\(a\)的取值范围．

难度：难

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3．
在直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程为：\(\begin{cases} & x=1+\dfrac{4}{5}t, \\ & y=1+\dfrac{3}{5}t. \end{cases}(t\)为参数\()\)，若以\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho {{\sin }^{2}}\theta =2\sin (\dfrac{\pi }{2}-\theta )\)，

\((1)\)写出曲线\(C\)的直角坐标方程，并指明\(C\)是什么曲线；

\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，求\(\left| AB \right|\)的值；

\((3)\)设点\(P(1,1)\)，求\(\left| PA \right|\cdot \left| PB \right|\)的值．

难度：难

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4．

在直线坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases}x=a\cos t \\ y=1+a\sin t\end{cases} \) \((t\)为参数，\(a > 0).\)在以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线\({C}_{2} :ρ=4\cos θ\)．

\((1)\)说明\(C_{1}\)是哪一种曲线，并将\(C_{1}\)的方程化为极坐标方程．

\((2)\)直线\(C_{3}\)的极坐标方程为\(θ=α_{0}\)，其中\(α_{0}\)满足\(\tan α_{0}=2\)，若曲线\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的公共点都在\(C_{3}\)上，求\(a\)．

难度：难

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5．
过点\((2, \dfrac{π}{4})\)平行于极轴的直线的极坐标方程是________．

难度：难

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6．在平面直角坐标系中，以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C_{1}\)的极坐标方程为\(ρ^{2}(1+3\sin ^{2}θ)=4\)，曲线\(C_{2}\)：\(\begin{cases} x=2+2\cos θ, \\ y=2\sin θ \end{cases}(θ\)为参数\()\)．
\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)的直角坐标方程和\(C\)\({\,\!}_{2}\)的普通方程；

\((\)Ⅱ\()\)极坐标系中两点\(A(ρ\)\({\,\!}_{1}\)，\(θ\)\({\,\!}_{0}\)\()\)，\(B\)\(\left( \left. ρ_{2},θ_{0}+ \dfrac{π}{2} \right. \right)\)都在曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)上，求\( \dfrac{1}{ρ\rlap{_{1}}{^{2}}}\)\(+\)\( \dfrac{1}{ρ\rlap{_{2}}{^{2}}}\)的值．

难度：难

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7．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\( \begin{cases} \overset{x=1+\cos \alpha }{y=\sin \alpha }\end{cases}(α\)为参数\()\)；在以\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线\(C_{2}\)的极坐标方程为\(ρ\cos ^{2}θ=\sin θ\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(C_{1}\)的普通方程和\(C_{2}\)的直角坐标方程；
\((\)Ⅱ\()\)若射线\(l\)：\(y=kx(x\geqslant 0)\)分别交\(C_{1}\)，\(C_{2}\)于\(A\)，\(B\)两点\((A,B\)异于原点\().\)当\(k∈(1, \sqrt {3}]\)时，求\(|OA|⋅|OB|\)的取值范围．

难度：难

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8．
点\(M\)的极坐标\(\left(4, \dfrac{5π}{6}\right) \)化成直角坐标的结果是______．

难度：难

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9．

\((1)\)已知曲线\(C\)的极坐标方程是\(ρ=2\)，以极点为原点，极轴为\(x\)轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=1+t \\ y=2+ \sqrt{3}t\end{cases} \) \((t\)为参数\()\)．

\(①\)写出直线\(l\)的普通方程与曲线\(C\)的直角坐标方程；

\(②\)设曲线\(C\)经过伸缩变换\(\begin{cases}x{{'}}=x \\ y{{'}}= \dfrac{1}{2}y\end{cases} \)得到曲线\(C{{'}} \)，设 \(M(x,y)\)为\(C{{'}} \)上任意一点，

求\({x}^{2}- \sqrt{3}xy+2{y}^{2} \)的最小值，并求相应的点\(M\)的坐标．

\((2)\)设函数\(f(x)=\left|x-a\right| \)．

\(①\)当\(a=2\)时，解不等式\(f(x)\geqslant 7-|x-1|\)；

\(②\)若\(f(x)\leqslant 2\)的解集为\([-1,3]\)，\( \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{2n}=a(m > 0,n > 0) \)，求证：\(m+4n\geqslant 2 \sqrt{2}+3 \)．

难度：难

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10．
已知曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=4+5\cos t, \\ & y=5+5\sin t, \\ \end{cases}\) \((\)为参数\()\)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C_{2}\)的极坐标方程为\(ρ=2\sin θ \) ．

\((1)\)把\(C_{1}\)的参数方程化为极坐标方程；

\((2)\)求\(C_{1}\)与\(C_{2}\)交点的极坐标\((ρ\geqslant 0,0\leqslant θ < 2π)\)。

难度：难

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