知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知曲线$C_{1}$的参数方程为$ \begin{cases} x=1+ \dfrac {1}{2}t \\ y= \dfrac { \sqrt {3}}{2}t\end{cases}($为参数$).$在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线$C_{2}$：$ρ^{2}= \dfrac {12}{3+\sin ^{2}\theta }$．
$($Ⅰ$)$求曲线$C_{1}$的普通方程和$C_{2}$的直角坐标方程；
$($Ⅱ$)$若$C_{1}$与$C_{2}$相交于$A$、$B$两点，设点$F(1,0)$，求$ \dfrac {1}{|FA|}+ \dfrac {1}{|FB|}$的值．

难度：难

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2．
在直角坐标系$xOy$中$.$直线$l$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=1+t\cos \alpha }{y=1+t\sin \alpha }\end{cases}(t$为参数，$0\leqslant α < π).$在以$O$为极点，$x$轴正半轴为极轴的极坐标系中$.$曲线$C$：$ρ=4\cos θ$．
$(1)$当$α= \dfrac {π}{4}$时，求$C$与$l$的交点的极坐标；
$(2)$直线$l$与曲线$C$交于$A$，$B$两点，且两点对应的参数$t_{1}$，$t_{2}$互为相反数，求$|AB|$的值．

难度：难

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3．
在平面直角坐标系$xOy$中，已知曲线$C_{1}$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=\cos t}{y=1+\sin t}\end{cases}(t$为参数$)$，曲线$C_{2}$的直角坐标方程为$x^{2}+(y-2)^{2}=4.$以直角坐标原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线$l$的极坐标方程为$θ=α$，$(0 < α < π)$
$(1)$求曲线$C_{1}$、$C_{2}$的极坐标方程；
$(2)$设点$A$、$B$为射线$l$与曲线$C_{1}$、$C_{2}$除原点之外的交点，求$|AB|$的最大值．

难度：难

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4．
已知曲线$C$的极坐标方程是$ρ=4\cos θ.$以极点为原点，极轴为$x$的正半轴建立平面直角坐标系，直线$l$的参数方程是：$ \begin{cases} x=m+ \dfrac { \sqrt {2}}{2}t \\ y= \dfrac { \sqrt {2}}{2}t\end{cases}(t$为参数$)$．
$(1)$将曲线$C$的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线$l$的参数方程化成普通方程；
$(2)$当$m=0$时，直线$l$与曲线$C$异于原点$O$的交点为$A$，直线$ρ=- \dfrac {π}{3}$与曲线$C$异于原点$O$的交点为$B$，求三角形$AOB$的面积．

难度：难

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5．点M的直角坐标是（1，- $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ），则点M的极坐标为（　　）

A．（2， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ）

B．（2，- $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ）

C．（2， $%20%5Cfrac%20%7B2%CF%80%7D%7B3%7D$ ）

D．（2，2kπ+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ）（k∈Z）

难度：难

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6．
在直角坐标系$xoy$中，已知点$P(0, \sqrt {3})$，曲线$C$的参数方程为$ \begin{cases} x= \sqrt {2}\cos φ \\ y=2\sin φ\end{cases}(φ$为参数$).$以原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线$l$的极坐标方程为$ρ= \dfrac { \sqrt {3}}{2\cos (θ- \dfrac {π}{6})}$．
$($Ⅰ$)$判断点$P$与直线$l$的位置关系并说明理由；
$($Ⅱ$)$设直线$l$与曲线$C$的两个交点分别为$A$，$B$，求$ \dfrac {1}{|PA|}+ \dfrac {1}{|PB|}$的值．

难度：难

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7．
已知在平面直角坐标系$xOy$中，以坐标原点$O$为极点，以$x$轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线$C_{1}$的极坐标方程为$ρ=4\cos θ$，直线$l$的参数方程为$ \begin{cases} x=1- \dfrac {2 \sqrt {5}}{5}t \\ y=1+ \dfrac { \sqrt {5}}{5}t\end{cases}(t$为参数$)$．
$(1)$求曲线$C_{1}$的直角坐标方程及直线$l$的普通方程；
$(2)$若曲线$C_{2}$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=2\cos \alpha }{y=\sin \alpha }\end{cases}(α$为参数$)$，曲线$C_{1}$上点$P$的极角为$ \dfrac {π}{4}$，$Q$为曲线$C_{2}$上的动点，求$PQ$的中点$M$到直线$l$距离的最大值．

难度：难

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8．
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与$C= \dfrac {π}{2}.$轴非负半轴重合，且取相同的长度单位$.$曲线$C_{1}$：$ρ\cos θ-2ρ\sin θ-7=0$，和$C_{2}$：$ \begin{cases} \overset{x=8\cos \theta }{y=3\sin \theta }\end{cases}(θ{为参数})$．
$(1)$写出$C_{1}$的直角坐标方程和$C_{2}$的普通方程；
$(2)$已知点$P(-4,4)$，$Q$为$C_{2}$上的动点，求$PQ$中点$M$到曲线$C_{1}$距离的最小值．

难度：难

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9．
$($选修$4-4$：坐标系与参数方程$)$
已知曲线$C_{1}$的参数方程为$ \begin{cases} x=4+5\cos t \\ y=5+5\sin t\end{cases}(t$为参数$)$，以坐标原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C_{2}$的极坐标方程为$ρ=2\sin θ$．
$($Ⅰ$)$把$C_{1}$的参数方程化为极坐标方程；
$($Ⅱ$)$求$C_{1}$与$C_{2}$交点的极坐标$(ρ\geqslant 0,0\leqslant θ < 2π)$

难度：难

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10．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C₁的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D4%2B5cost%20%5C%5C%20y%3D5%2B5sint%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

难度：难

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