曲线\(y=\sqrt{x}\)上点\({{P}_{1}},{{P}_{2}},\cdots {{P}_{n}}\)与\(x\)轴上点\({{Q}_{1}},{{Q}_{2}},\cdots {{Q}_{n}}\)构成一列正三角形，即\(\Delta O{{P}_{1}}{{Q}_{1}},\Delta {{Q}_{1}}{{P}_{2}}{{Q}_{2}},\cdots \Delta {{Q}_{n-1}}{{P}_{n}}{{Q}_{n}}\)，设\(\Delta O{{P}_{1}}{{Q}_{1}}\)的边长为\({{a}_{1}}\)，正三角形\(\Delta {{Q}_{n-1}}{{P}_{n}}{{Q}_{n}}\)的边长为\({{a}_{n}}\)

\((1)\)求\({{a}_{1}},{{a}_{2}}\)

\((2)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式

\((3)\)证明：\(\dfrac{1}{{{a}_{1}}^{2}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}^{2}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{n}}^{2}} < \dfrac{63}{16}\)

已知曲线\(f(x)=\dfrac{{\log }_{2}\left(x+1\right)}{x+1} (x > 0)\)上有一点列\(P_{n}(x_{n},y_{n})(n∈N*)\)，过点\(P_{n}\)在\(x\)轴上的射影是\(Q_{n}(x_{n},0)\)，且\(x_{1}+x_{2}+x_{3}+…+x_{n}=2^{n+1}-n-2.(n∈N*)\)

\((1)\)求数列\(\{x_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)设四边形\(P_{n}Q_{n}Q_{n+1}P_{n+1}\)的面积是\(S_{n}\)，求\(S_{n}\)；

\((3)\)在\((2)\)条件下，求证：\(\dfrac{1}{{S}_{1}} \) \(+\dfrac{1}{2{S}_{2}} +…+\dfrac{1}{n{S}_{n}} < 4\)．

观察下列式子：\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}} < \dfrac{3}{2},1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}} < \dfrac{5}{3},1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+ \dfrac{1}{{4}^{2}} < \dfrac{7}{4} \)，

\((\)Ⅰ\()\)由此猜想一个一般性的结论，

\((\)Ⅱ\()\)请证明你的结论。

数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}= \dfrac{n+1}{2n}a_{n}(n∈N^{*}).\)

\((1)\)证明：数列\(\left\{ \left. \dfrac{a_{n}}{n} \right. \right\}\)是等比数列，并求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)设\(b_{n}= \dfrac{a_{n}}{4n-a_{n}}\)，若数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和是\(T_{n}\)，求证：\(T_{n} < 2\)．

设函数\(f\)\((\)\(x\)\()=\dfrac{1-x}{ax}+\ln x\)在\([1,+∞)\)上为增函数\(.\)  

\((1)\)求正实数\(a\)的取值范围；

\((2)\)比较\( \dfrac{1}{n} \)与\(\ln \dfrac{n}{n-1}\left(n∈{N}^{*},n\geqslant 2\right) \)的大小，说明理由；

\((3)\)求证：\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots +\dfrac{1}{n} < \ln n(\)\(n∈N\)\(*\)， \(n\)\(\geqslant 2)\)