知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知\(a_{1}=5\)，\({{a}_{n+1}}=\dfrac{1}{4}\left( {{a}_{n}}+\dfrac{16}{{{a}_{n}}}+8 \right)(n\in {{N}^{*}})\)，求证\(4 < {{a}_{n}}\leqslant 4+{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{n-1}}\)．

难度：难

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2．
\((1)\)求证：\(\sqrt{6}+\sqrt{7} > 2\sqrt{2}+\sqrt{5}\)

\((2)\)已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(a+b > 2\)，求证：\( \dfrac{1+b}{a} \)和\( \dfrac{1+a}{b} \)中至少有一个小于\(2\)

难度：难

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3．
若\(0 < x\)，\(y\)，\(z < 1\)，求证：\(x(1-y)\)，\(y(1-z)\)，\(z(1-x)\)不可能都大于．

难度：难

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4．

\((1)\)已知\(p^{3}+q^{3}=2\)，求证\(p+q\leqslant 2\)，用反证法证明时，可假设\(p+q\geqslant 2\)；
\((2)\)已知\(a\)，\(b∈R\)，\(|a|+|b| < 1\)，求证方程\(x^{2}+ax+b=0\)的两根的绝对值都小于\(1.\)用反证法证明时可假设方程有一根\(x_{1}\)的绝对值大于或等于\(1\)，即假设\(|x_{1}|\geqslant 1\)，以下结论正确的是\((\)　　\()\)

A．\((1)\)的假设错误，\((2)\)的假设正确

B．\((1)\)与\((2)\)的假设都正确

C．\((1)\)的假设正确，\((2)\)的假设错误

D．\((1)\)与\((2)\)的假设都错误

难度：难

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