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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}的通项公式为an=
              n+1
              2
              ，n=2k-1(k∈N*)
              2
              n
              2
              ，n=2k(k∈N*).

              设bn=
              a2n-1
              a2n
              ，Sn=b1+b2+…+bn              ．证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
              1
              n
              ．
              难度：难
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            • 2． 已知函数f（x）=（1-x）ex，设Q1（x1，0），过P1（x1，f（x1））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q2（x2，0），再过P2（x2，f（x2））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q3（x3，0），…，依此下去，过Pn（xn，f（xn））（n∈N*）作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Qn+1（xn+1，0），…．若x1=2，
              （Ⅰ）试求出x2的值并写出xn+1与xn的关系；
              （ II）求证：n-1＜
              1
              x1
              +
              1
              x2
              +…+
              1
              xn
              ≤n-
              1
              2
              (n∈N*)              ．
              难度：难
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            • 3． 已知m，n为正整数．
              （Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）m≥1+mx；
              （Ⅱ）对于n≥6，已知(1-
              1
              n+3
              )n＜
              1
              2
              ，求证(1-
              m
              n+3
              )n＜(
              1
              2
              )m              ，m=1，2…，n；
              （Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．
              难度：难
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            • 4． 设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜
              5
              2
              x              ，定义数列an：a0=8，a1=10，an=f（an-1），n=1，2，…．
              （1）求证：an+1+an-1＜
              5
              2
              an(n=1，2，…)              ；
              （2）设bn=an+1-2an，n=0，1，2，…．求证：bn＜(-6)(
              1
              2
              )n              （n∈N*）；
              （3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有an=
              A•4n+B
              2n
              成立；②当n=2，3，…时，有an＜
              A•4n+B
              2n
              成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．
              难度：难
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            • 5． 已知x1＞0，x1≠1，且xn+1=
              xn(
              x
              2
              n
              +3)
              3
              x
              2
              n
              +1
              ，（n=1，2，…）．试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn＜xn+1，或者对任意自然数n都满足xn＞xn+1．
              难度：难
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