知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．
（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；
（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；
（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

语文特别优秀语文不特别优秀合计

数学特别优秀

数学不特别优秀

合计

参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
参考数据：

P（K²≥k₀） 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001

k₀ 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828

难度：难

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2．

某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准$a$，用电量不超过$a$的部分按平价收费，超出$a$的部分按议价收费$.$为此，政府调查了$100$户居民的月平均用电量$($单位：度$)$，以$[160,180)$，$[180,200)$，$[200,220)$，$[220,240)$，$[240,260)$，$[260,280)$，$[280,300)$分组的频率分布直方图如图所示．

$($Ⅰ$)$根据频率分布直方图的数据，求直方图中$x$的值并估计该市每户居民月平均用电量$μ$的值；

$($Ⅱ$)$用频率估计概率，利用$($Ⅰ$)$的结果，假设该市每户居民月平均用电量$X$服从正态分布$N(μ,σ^{2})$

$(ⅰ)$估计该市居民月平均用电量介于$μ～240$度之间的概率；

$(ⅱ)$利用$(ⅰ)$的结论，从该市所有居民中随机抽取$3$户，记月平均用电量介于$μ～240$度之间的户数为$Y$，求$Y$的分布列及数学期望$E(Y)$．

难度：难

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3．
“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔$50$辆就抽取一辆的样本方法抽取$40$名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速$(km/h)$分成六段；$[60,65)$，$[65,70)$，$[70,75)$，$[75,80)$，$[80,85)$，$[85,90]$后得到如图所示的频率分布直方图．
$(1)$求这$40$辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
$(2)$若从车速在$[60,70)$内的车辆中任抽取$2$辆，求车速在$[65,70)$内的车辆恰有一辆的概率．

难度：难

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4．
我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程$.$某市共有户籍人口$400$万，其中老人$($年龄$60$岁及以上$)$人数约有$66$万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取$600$人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以$80$岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：

$($Ⅰ$)$若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取$16$人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
$($Ⅱ$)$估算该市$80$岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
$($Ⅲ$)$政府计划为$80$岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买$1000$元$/$年的医疗保险，为其余老人每人购买$600$元$/$年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．

难度：难

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5．
某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了$100$名学生进行调查$.$如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．
$($Ⅰ$)$根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数$ \overset{ .}{x}$和众数$m($同一组中的数据用该组区间的中点值作代表$)$；
$($Ⅱ$)$已知样本中玩电脑游戏时长在$[50,60]$的学生中，男生比女生多$1$人，现从中选$3$人进行回访，记选出的男生人数为$ξ$，求$ξ$的分布列与期望$E(ξ)$．

难度：难

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6．
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出$.$某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准$x($吨$)$，用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费$.$为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了 $100$ 位居民某年的月均用水量$($单位：吨$)$，将数据按照$[0,0.5)$，$[0.5,1)$，$…$，$[4,4.5]$分成$9$组，制成了如图所示的频率分布直方图．
$($Ⅰ$)$求直方图中 $a$ 的值；
$($Ⅱ$)$若该市政府希望使 $85\%$的居民每月的用水量不超过标准 $x($吨$)$，估计 $x$ 的值，并说明理由；
$($Ⅲ$)$已知平价收费标准为 $4$ 元$/$吨，议价收费标准为 $8$元$/$吨$.$当 $x=3$时，估计该市居民的月平均水费$.($同一组中的数据用该组区间的中点值代替$)$

难度：难

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7．
人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为$0-25db($分贝$)$，并规定测试值在区间$(0,5]$为非常优秀，测试值在区间$(5,10]$为优秀，某班$50$名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：
$($Ⅰ$)$现从听力等级为$(0,10]$的同学中任意抽取出$4$人，记听力非常优秀的同学人数$X$，求$X$的分布列与数学期望．
$($Ⅱ$)$在$($Ⅰ$)$中抽出的$4$人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为$1$，$2$，$3$，$4$，测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}($其中$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$为$1$，$2$，$3$，$4$的一个排列$)$，若$Y$为两次排序偏离程度的一种描述，$Y=|1-a_{1}|+|2-a_{2}|+|3-a_{3}|+|4-a_{4}|$，求$Y\leqslant 2$的概率．

难度：难

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8．
某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年$200$户居民每户的月均用电量$($单位：度$)$，将数据按照$[0,100)$，$[100,200)$，$[200,300)$，$[300,400)$，$[400,500)$，$[500,600)$，$[600,700)$，$[700,800)$，$[800,900]$分成$9$组，制成了如图所示的频率分布直方图．

$($Ⅰ$)$求直方图中$m$的值并估计居民月均用电量的中位数；
$($Ⅱ$)$现从第$8$组和第$9$组的居民中任选取$2$户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率．

难度：难

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9．

生产甲乙两种精密电子产品，用以下两种方案分别生产出甲乙产品共$3$件，现对这两种方案生产的产品分别随机调查了各$100$次，得到如下统计表：

$①$生产$2$件甲产品和$1$件乙产品

正次品

甲正品

乙正品

甲正品

乙次品

甲正品

甲次品

乙正品

甲正品

甲次品

乙次品

甲次品

乙正品

甲次品

乙次品

频数

$15$

$20$

$16$

$31$

$10$

$8$

$②$生产$1$件甲产品和$2$件乙产品

正次品

乙正品

甲正品

乙正品

甲次品

乙正品

乙次品

甲正品

乙正品

乙次品

甲次品

乙次品

甲正品

乙次品

甲次品

频数

$8$

$10$

$20$

$22$

$20$

已知生产电子产品甲$1$件，若为正品可盈利$20$元，若为次品则亏损$5$元；生产电子产品乙$1$件，若为正品可盈利$30$元，若为次品则亏损$15$元．

$($Ⅰ$)$按方案$①$生产$2$件甲产品和$1$件乙产品，求这$3$件产品平均利润的估计值；

$($Ⅱ$)$从方案$①②$中选其一，生产甲乙产品共$3$件，欲使$3$件产品所得总利润大于$30$元的机会多，应选用哪个？

难度：难

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10．为了了解网购是否与性别有关，对50名青年人进行问卷调查得到了如下的统计表：
喜爱网购不喜爱网购合计
女 20 5 25
男 10 15 25
合计 30 20 50
（1）用分层抽样的方法在喜爱网购的人中抽6人，其中抽到多少名女性？
（2）在上述抽到的6人中选2人，求恰好有一名男性的概率．

难度：难

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	语文特别优秀	语文不特别优秀	合计
数学特别优秀
数学不特别优秀
合计

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	…	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	…	6.635	7.879	10.828

	喜爱网购	不喜爱网购	合计
女	20	5	25
男	10	15	25
合计	30	20	50