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          共50条信息

            • 1． 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
              （I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
              （II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
              难度：难
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            • 2． 设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜
              5
              2
              x              ，定义数列an：a0=8，a1=10，an=f（an-1），n=1，2，…．
              （1）求证：an+1+an-1＜
              5
              2
              an(n=1，2，…)              ；
              （2）设bn=an+1-2an，n=0，1，2，…．求证：bn＜(-6)(
              1
              2
              )n              （n∈N*）；
              （3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有an=
              A•4n+B
              2n
              成立；②当n=2，3，…时，有an＜
              A•4n+B
              2n
              成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．
              难度：难
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            • 3． 给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r2；如此继续构成第三组（余差为r3）、第四组（余差为r4）、…，直至第N组（余差为rN）把这些数全部分完为止．
              （Ⅰ）判断r1，r2，…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
              （Ⅱ）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与rn的大小关系，并证明rn-1＞
              150n-L
              n-1
              ；
              （Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．
              难度：难
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            • 4． 如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
              （1）证明：P-ABC为正四面体；
              （2）若PD=DA=
              1
              2
              求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
              （3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 5． 设定义在R上的奇函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，a，b，c，d∈R．当x=-1时，f（x）取得极大值
              2
              3
              ．
              （1）求函数y=f（x）的表达式；
              （2）判断函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切
              点的横坐标在区间[-
              		2
              ，
              		2
              ]上，并说明理由；
              （3）设xn=1-2-n，ym=
              		2
              （3-m-1）（m，n∈N*），求证：|f（xn）-f（ym）|＜
              4
              3
              ．
              难度：难
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            • 6． 设函数f（x）=
              2x
              2x+
              		2
              的图象上两点P1（x1，y1） P2（x2，y2），若
              OP
              =
              1
              2
              （
              OP1
              +
              OP2
              ），且点P的横坐标为
              1
              2
              （1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若Sn=
              n
              i=1
              f(
              i
              n
              )              ，n∈N*，求Sn；
              （3）记Tn为数列{
              1
              (Sn+
              		2
              )(Sn+1+
              		2
              )
              }的前n项和，若Tn＜a（Sn+1+
              		2
              ）对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围
              难度：难
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