知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=\log _{a}(1-x)+\log _{a}(x+3)\)，其中\(0 < a < 1\)
\((1)\)求\(f(x)\)的定义域；
\((2)\)当\(a= \dfrac {1}{2}\)时，求\(f(x)\)的最小值．

难度：易

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2．
已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}+|x-a|(a > 0)\)．
\((1)\)当\(a=1\)时，求\(f(x)\)的单调区间；
\((2)\)记\(f(x)\)在\([-1,1]\)上的最小值为\(g(a)\)，求证：当\(x∈[-1,1]\)时，恒有\(f(x)\leqslant g(a)+ \dfrac {4}{3}\)．

难度：较易

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3．
已知\(a∈R\)，函数\(f(x)=\log _{2}( \dfrac {1}{2^{x}}+a)\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(a=1\)时，解不等式\(f(x) > 1\)；
\((\)Ⅱ\()\)若关于\(x\)的方程\(f(x)+2x=0\)的解集中恰有一个元素，求\(a\)的取值范围；
\((\)Ⅲ\()\)设\(a > 0\)，若对任意\(t∈[-1,0]\)，函数\(f(x)\)在区间\([t,t+1]\)上的最大值与最小值的和不大于\(\log _{2}6\)，求\(a\)的取值范围．

难度：较易

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4．
已知函数\(g(x)=ax^{2}-2ax-1+b(a > 0)\)在区间\([2,3]\)上有最大值\(4\)和最小值\(1.\)设\(f(x)= \dfrac {g(x)}{x}\)．
\((1)\)求\(a\)，\(b\)的值；
\((2)\)若不等式\(f(2^{x})-k⋅2^{x}\geqslant 0\)在\(x∈[-1,1]\)上有解，求实数\(k\)的取值范围．

难度：较易

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5．
已知函数\(f(x)=4\cos x\sin (x+ \dfrac {π}{6})-1\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)的最小正周期：
\((\)Ⅱ\()\)求 \(f(x)\)在区间\([- \dfrac {π}{6}, \dfrac {π}{4}]\)上的最大值和最小值．

难度：较易

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6．
已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(c > 0\)，函数\(f(x)=|x+a|+|x-2b|+c\)的最小值为\(4\)．
\((1)\)求\(a+2b+c\)的值；
\((2)\)证明：\( \dfrac {a^{2}}{9}+ \dfrac {b^{2}}{4}+c^{2}\geqslant \dfrac {8}{13}\)．

难度：较易

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7．
已知函数\(f(x)= \sqrt {2|x-3|-|x|-m}\)的定义域为\(R\)；
\((\)Ⅰ\()\)求实数\(m\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)设实数\(t\)为\(m\)的最大值，若实数\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=t^{2}\)，求\( \dfrac {1}{a^{2}+1}+ \dfrac {1}{b^{2}+2}+ \dfrac {1}{c^{2}+3}\)的最小值．

难度：较易

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8．
已知函数\(f(x)=|x-1|-2|x+1|\)的最大值为\(k\)．
\((1)\)求\(k\)的值；
\((2)\)若\(a\)，\(b\)，\(c∈R\)，\( \dfrac {a^{2}+c^{2}}{2}+b^{2}=k\)，求\(b(a+c)\)的最大值．

难度：较易

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9．
已知函数\(f(x)=5-|x+1|-|x-2|\)．
\((1)\)在给出的平面直角坐标系中作出函数\(y=f(x)\)的图象；
\((2)\)记函数\(y=f(x)\)的最大值为\(M\)，是否存在正数\(a\)，\(b\)，使\(2a+b=M\)，且\( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {2}{b}=3\)，若存在，求出\(a\)，\(b\)的值，若不存在，说明理由．

难度：较易

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10．
已知函数\(f(x)=-x^{3}+3x^{2}+9x+a\)．
\((1)\)求\(f(x)\)的单调区间；
\((2)\)若\(f(x)\)在区间\([-2,2]\)上的最大值为\(20\)，求它在该区间上的最小值．

难度：较难

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