知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
mx2+ax
1+x2
是奇函数．
（1）求m的值；
（2）若f（x）=
mx2+ax
1+x2
在（1，+∞）上递减，根据单调性的定义求实数a的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=ax+
b
x
+c是奇函数，且满足f（1）=
5
2
，f（2）=
17
4
．
（1）求a，b，c的值；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，
1
2
）上的单调性并证明．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=
a•2x+b+1
2x+1
是定义域在R上的奇函数，且f（2）=
6
5
．
（1）求实数a、b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式：f（log
1
2
（2x-2）]+f[log₂（1-
1
2
x）]≥0．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设g（x）=log₄（a•2^x-
4
3
a）（a＜100），若函数f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，求整数a的个数．

难度：中等

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5．已知函数f(x)=
1+ax2
x+b
的图象经过点（1，3），并且g（x）=xf（x）是偶函数．
（1）求实数a、b的值；
（2）用定义证明：函数g（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

难度：较易

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6．已知函数g(x)=
4x-a
2x
是奇函数，f（x）=lg（10^x+1）+bx是偶函数．
（1）求a+b的值．
（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
（3）设h(x)=f(x)+
1
2
x，若存在x∈（-∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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7．已知定义域为R的函数f（x）=
-2x+1
2x+1+a
是奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（Ⅲ）若不等式f（2^x+1）+f（k•2^x+1+2k）＞0在区间[0，+∞）上有解，求实数k的取值范围．

难度：较难

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8．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0 时，有
f(m)+f(n)
m+n
＞0．
（1）求证：f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）求不等式f(x+
1
2
)＜f(1-x)的解集；
（3）若f(x)≤t2+t-
1
cos2α
-2tanα-1对所有x∈[-1，1]，α∈[-
π
3
，
π
4
]恒成立，求实数t的取值范围．

难度：较难

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9．定义域为[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），且当x∈（0，1）时，f（x）=
ax
a2x+1
（a＞1）．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）求函数f（x）的值域．

难度：较难

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10．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（3）解关于x的不等式f（x²）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．

难度：较难

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