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          共50条信息

            • 1． 若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数有“飘移点”x0．
              （1）函数f（x）=
              1
              x
              是否有“飘移点”？请说明理由；
              （2）证明函数f（x）=x2+2x在（0，1）上有“飘移点”；
              （3）若函数f（x）=lg（
              a
              x2+1
              ）在（0，+∞）上有“飘移点”，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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            • 2． 已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（﹣1）=2．
              （1）求证：f（x）为奇函数；
              （2）求证：f（x）是R上的减函数；
              （3）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域．
              难度：中等
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            • 3． 已知数列{an}的前n项和Sn=
              n2+n
              2
              ，数列{bn}的通项为bn=f（n），且f（n）满足：①f（1）=
              1
              2
              ；②对任意正整数m，n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立．
              （1）求an与bn；
              （2）设数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．
              难度：中等
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            • 4． 对于函数f（x），若存在给定的实数对（a，b），对定义域中的任意实数x，都有f（a+x）•f（a-x）=b成立，则称函数f（x）为“Ψ函数”．
              （Ⅰ）函数f（x）=ex是“Ψ函数”，求出所有实数对（a，b）满足的关系式，并写出两个实数对；
              （Ⅱ）判断函数f（x）=sinx是否为“Ψ函数”，并说明理由．
              难度：中等
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            • 5． 已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题：
              ①常值函数f（x）=a（a≠0）为回旋函数的充要条件是t=-1；
              ②若f（x）=ax（0＜a＜1）为回旋函数，则t＞1；
              ③函数f（x）=x2不是回旋函数；
              ④若f（x）是t=2的回旋函数，则f（x）在[0，4032]上至少有2016个零点．
              其中为真命题的是    ．（写出所有真命题的序号）．
              难度：较难
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            • 6． 已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足f（2）=1．
              （1）求f(4)，f(
              1
              2
              )              的值；
              （2）求满足f（2x）-f（x-3）＞2的x的取值范围．
              难度：中等
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            • 7． 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于定义域内任意x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），且函数在定义域内为单调递减函数．
              （Ⅰ）求f(1)，f(a)+f(
              1
              a
              )              的值；
              （Ⅱ）求函数f（x）的零点；
              （Ⅲ）求满足不等式f（2m+1）+f（m）＞0的实数m的范围．
              难度：中等
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            • 8． 设函数f（x）定义在实数集上，f（1+x）=f（1-x），且当x≥1时，f(x)=(
              1
              2
              )x              ，则有（　　）
              A．f(
              1
              3
              )＜f(2)＜f(
              1
              2
              )
              B．f(
              1
              2
              )＜f(2)＜f(
              1
              3
              )
              C．f(
              1
              2
              )＜f(
              1
              3
              )＜f(2)
              D．f(2)＜f(
              1
              3
              )＜f(
              1
              2
              )
              难度：中等
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            • 9． 若关于a，b的代数式f（a，b）满足：
              （1）f（a，a）=a；
              （2）f（ka，kb）=k•f（a，b）；
              （3）f（a1+a2，b1+b2）=f（a1，b1）+f（a2，b2）；
              （4）f(a，b)=f(b，
              a+b
              2
              )              ，
              则f（1，0）+f（2，0）=    ；f（x，y）=    ．
              难度：中等
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            • 10． 已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[-1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．
              （Ⅰ）判断函数f（x）=x2-
              1
              3
              x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）
              （Ⅱ）已知f（x）=x+
              a
              x
              ，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；
              （Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．
              难度：较难
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