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          共50条信息

            • 1． 已知函数y=f（x），x∈R，给出下列结论：
              ①若对于任意x1，x2且x1≠x2都有
              f(x2)-f(x1)
              x2-x1
              ＜0，则f（x）为R上的减函数；
              ②若f（x）为R上的偶函数，且在（-∞，0）内是减函数，f（-2）=0则f（x）＞0的解集为（-2，2）；
              ③若f（x）为R上的奇函数，则y=f（x）-f（|x|）也是R上的奇函数；
              ④t为常数，若对任意的x都有f（x-t）=f（x+t），则f（x）的图象关于x=t对称．
              其中所有正确的结论序号为    ．
              难度：中等
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            • 2． 设函数f（x）=x2-ax+b（a，b∈R）
              （Ⅰ）若函数f（x）在[0，1]上不单调，求a的取值范围
              （Ⅱ）对任意x∈[-1，1]，都存在y∈R，使得f（y）=f（x）+y成立，求a的取值范围．
              难度：较难
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            • 3． 已知定理：“实数m，n为常数，若函数h（x）满足h（m+x）+h（m-x）=2n，则函数y=h（x）的图象关于点（m，n）成中心对称”．
              （Ⅰ）已知函数f（x）=
              x2
              x-1
              的图象关于点（1，b）成中心对称，求实数b的值；
              （Ⅱ）已知函数g（x）满足g（2+x）+g（-x）=4，当x∈[0，2]时，都有g（x）≤3成立，且当x∈[0，1]时，g（x）=2k（x-1）+1，求实数k的取值范围．
              难度：较难
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            • 4． 对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
              ①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
              ②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x2与h（x）=2x-b是定义在[0，1]上的函数．
              （1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
              （2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．
              难度：较难
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            • 5． 设函数y=f（x）是定义在上（0，+∞）的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(
              1
              3
              )=
              1
              2
              ．
              （1）求f（1）；
              （2）若存在实数m，使得f（m）=1，求m的值；
              （3）若f（x-2）＞1+f（x），求x的取值范围．
              难度：中等
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            • 6． 已知定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．
              （Ⅰ）求f（0）的值，判断f（x）的奇偶性并说明理由；
              （Ⅱ）求证：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
              （Ⅲ）若不等式f（k•2x）+f（2x-4x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
              难度：中等
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            • 7． 对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
              （1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；
              第一组：f1（x）=lg
              x
              10
              ，f2（x）=lg（10x），h（x）=x2-x+1；
              第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；
              （2）设f1（x）=log2x；f2(x)=log
              1
              2
              x，a=2，b=1生成函数h（x），若不等式3h2（x）+2h（x）+t≤0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
              （3）设f1（x）=x（x＞0），f2（x）=
              1
              x
              (x＞0)              ，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点为（2，8），若对于任意的正实数x1，x2，且x1+x2=1，试问是否存在最大的常熟m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 8． 附加题：
              已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数g（x）在（-∞，0）内为单调递减函数，且g（x•y）=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立，g（2）=1．
              （1）求g（4），g(
              1
              2
              )              的值；
              （2）求满足条件g（x）-2＞g（x+1）的x的取值范围．
              难度：较难
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            • 9． （理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（
              x+y
              2
              ）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
              （1）试用α表示f（
              1
              2
              ），并在f（
              1
              2
              ）时求出α的值；
              （2）试用α表示f（
              1
              4
              ），并求出α的值；
              （3）n∈N时，an=
              1
              2n
              ，求f（an），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式．
              （文）已知向量
              OA
              =(3，-4)，
              OB
              =(6，-3)，
              OC
              =（5-m，-3-m）
              （1）若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件．
              （2）若△ABC为直角三角形，求m的取值范围．
              难度：较难
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