知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，则有f （x₁+x₂）≥f （x₁）+f （x₂）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N₊时，f（x）＜2x．

难度：较难

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2． [理]已知函数f（x）=ax-
b
x
-2lnx，f（1）=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（
1
an-n+1
）-n²+1，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2．

难度：较难

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3．已知定义在区间[-1，1]上的函数f（x）=
1+x2
，设任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁≠x₂．求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．

难度：中等

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4．判断函数的奇偶性：函数f（x）=x³•1g
1-x
1+x
是．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=
1+x
1-x
e-ax．求证：当a＞0时，F（x）在区间（1，+∞）内单调递增．

难度：较易

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6．证明：若2^-x-2^y＞lnx-1n（-y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．

难度：中等

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7．已知：对∀x∈R，y=（x）满足f（a+x）=f（b-x）（其中a，b为常数），求证：y=f（x）的图象关于直线x=
a+b
2
对称．

难度：中等

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8．设a为实数，f（x）=a-
2
2x+1
．
（1）求a的值，使f（x）的图象关于原点对称；
（2）上述函数是否具有单调性，如果具有单调性，试求出单调区间并加以证明，如果没有单调性，说明理由．

难度：较易

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9．已知函数y=f（x）=3^x+
x-2
x+1
．
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

难度：中等

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