知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=-x³-mx+
2
2
（m＜0），g（x）=-e^-x-1+1（其中e为自然对数的底数）．
（1）当实数m为何值时，直线y=2x+
2
2
与曲线y=f（x）相切；
（2）记函数h（x）=
f(x)，(f(x)≤g(x))
g(x)，(g(x)＜f(x))
x∈R，当m＞-1-
2
2
时，试讨论函数h（x）的零点个数．

难度：中等

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2．设函数f（x）=e^ax（a∈R）．
（I）当a=-2时，求函数g（x）=x²f（x）在区间（0，+∞）内的最大值；
（Ⅱ）若函数h（x）=
x2
f(x)
-1在区间（0，16）内有两个零点，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．
（1）当x∈（
1
2
，2）时，求μ（x+log₂x）的取值的集合；
（2）如函数f（x）=
μ(x)
x
-a(x＞0)有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；
（3）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N⁺）上的值域为M_a，集合M_a中的元素个数为a_n，求证：

lin
n→+∞
an
n2+1
=
1
2
．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）如果方程f（x）=0总有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

难度：中等

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5．已知f（x）=ax²+bx+1（a＞0，b∈R）
（Ⅰ）已知f（x）在R上存在唯一一个零点1，求a和b的值；
（Ⅱ）已知f（x）在区间[0，1]上存在两个零点，证明：a+|b|＞3．

难度：中等

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6．已知f（x）的定义域为R，且f（x+2）=f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²．设I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z．
（1）求f（x）在I_k上的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=ax在I_k上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=ax²+|x-2a|，其中a＞0
（1）当a=1时，求f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）-b在[0，+∞）上有两个零点，求实数b的取值范围（用a表示）．

难度：中等

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8．已知f（x）=
1
x
+
ex
e
-3，F（x）=lnx+
ex
e
-3x+2．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）判断函数F（x）在（0，+∞）上零点的个数．

难度：中等

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9．已知a，b是实数，函数f（x）=x|x-a|+b．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值；
（Ⅲ）若存在a∈[-3，0]，使得函数f（x）在[-4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=|x²-2x|+ax+a．
（1）当f（x）有两个零点时，求实数a的取值范围；
（2）当x∈R时，求函数的最小值g（a）．

难度：中等

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