知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=a\ln x+x^{2}(a\)为实常数\()\)．
\((1)\)当\(a=-4\)时，求函数\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最大值及相应的\(x\)值；
\((2)\)当\(x∈[1,e]\)时，讨论方程\(f(x)=0\)根的个数．
\((3)\)若\(a > 0\)，且对任意的\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[1,e]\)，都有\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant | \dfrac {1}{x_{1}}- \dfrac {1}{x_{2}}|\)，求实数\(a\)的取值范围．

难度：难

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2．
已知扇形的圆心角为\(α\)，所在圆的半径为\(r\)．
\((1)\)若\(α=120^{\circ}\)，\(r=6\)，求扇形的弧长．
\((2)\)若扇形的周长为\(24\)，当\(α\)为多少弧度时，该扇形面积\(S\)最大？并求出最大面积．

难度：难

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3．
\((\)Ⅰ\()\)求不等式\(|x+3|-|x-2|\geqslant 3\)的解集；
\((\)Ⅱ\()\)设\(a > b > 0\)，求证：\( \dfrac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} > \dfrac {a-b}{a+b}\)．

难度：较易

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4．
若\(0\leqslant a\leqslant 1\)，解关于\(x\)的不等式\((x-a)(x+a-1) < 0\)．

难度：中等

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5．
已知不等式\(|2x-a|\leqslant 3\)的解集为\([-1,2]\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(a\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若\(|x-m| < a\)，求证：\(|x| < |m|+1\)．

难度：较易

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6．
设\(f(x)=ax-\ln (1+x^{2})\)，
\((1)\)当\(a= \dfrac {4}{5}\)时，求\(f(x)\)在\((0,+∞)\)的极值；
\((2)\)证明：当\(x > 0\)时，\(\ln (1+x^{2}) < x\)；
\((3)\)证明：\((1+ \dfrac {1}{2^{4}})(1+ \dfrac {1}{3^{4}})…(1+ \dfrac {1}{n^{4}}) < e(n∈N^{*},n\geqslant 2,e\)为自然对数的底数\()\)

难度：较易

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7．
\((1)\)求证：当\(a\)、\(b\)、\(c\)为正数时，\((a+b+c)( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b}+ \dfrac {1}{c})\geqslant 9\)
\((2)\)已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}-1\)，\(b=2x+2\)，求证\(a\)，\(b\)中至少有一个不少于\(0\)．

难度：难

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8．
设不等式\(|2x-1| < 1\)的解集为\(M\)，且\(a∈M\)，\(b∈M\)．
\((1)\)试比较\(ab+1\)与\(a+b\)的大小．
\((2)\)设\(max\{A\}\)表示数集\(A\)中的最大数，且\(h=max\{ \dfrac {2}{ \sqrt {a}}, \dfrac {a+b}{ \sqrt {ab}}, \dfrac {ab+1}{ \sqrt {b}}\}\)，求证：\(h > 2\)．

难度：较易

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9．
直线\(l\)经过点\(P(3,2)\)且与\(x\)、\(y\)轴的正半轴分别交于\(A\)、\(B\)两点，
\((1)\)若\(\triangle OAB\)的面积为\(12\)，求直线\(l\)的方程；
\((2)\)记\(\triangle AOB\)的面积为\(S\)，求当\(S\)取最小值时直线\(l\)的方程．

难度：较易

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10．
已知函数\(f(x)=|2x+1|+|x-2|\)，不等式\(f(x)\leqslant 2\)的解集为\(M\)．
\((1)\)求\(M\)；
\((2)\)记集合\(M\)的最大元素为\(m\)，若正数\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(abc=m\)，
求证：\( \sqrt {a}+ \sqrt {b}+ \sqrt {c}\leqslant \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b}+ \dfrac {1}{c}\)．

难度：较易

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