知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是正实数，且\(a+b+c=5\)，求证：\(a^{2}+2b^{2}+c^{2}\geqslant 10\)．

难度：较易

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2．
已知函数\(f(x)=|x-2|\)．
\((\)Ⅰ\()\)解不等式\(f(x)+f(x+1)\geqslant 5\)；
\((\)Ⅱ\()\)若\(|a| > 1\)，且\(f(ab) > |a|\cdot f( \dfrac {b}{a})\)，证明：\(|b| > 2\)．

难度：较易

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3．
设函数\(f(x)=|2x-1|\)．
\((1)\)设\(f(x)+f(x+1) < 5\)的解集为集合\(A\)，求集合\(A\)；
\((2)\)已知\(m\)为集合\(A\)中的最大自然数，且\(a+b+c=m(\)其中\(a\)，\(b\)，\(c\)为正实数\()\)，设\(M= \dfrac {1-a}{a}\cdot \dfrac {1-b}{b}\cdot \dfrac {1-c}{c}.\)求证：\(M\geqslant 8\)．

难度：较易

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4．
已知 \(f(x)=|x-1|+|x+3|\)．
\((1)\)求不等式\(f(x)\leqslant 4\)的解集\(M\)；
\((2)\)若\(a\)，\(b∈M\)，证明：\((a^{2}+2a-3)(b^{2}+2b-3)\geqslant 0\)．

难度：较易

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5．
设函数\(f(x)=|x-3|\)，\(g(x)=|x-2|\)；
\((1)\)解不等式\(f(x)+g(x) < 2\)．
\((2)\)对任意的实数\(x\)，\(y\)，若\(f(x)\leqslant 1\)，\(g(y)\leqslant 1\)，求证：\(|x-2y+1|\leqslant 3\)．

难度：较易

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6．
已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为正数，函数\(f(x)=|x+1|+|x-3|\)．
\((I)\)求不等式\(f(x)\leqslant 6\)的解集：
\((II)\)若\(f(x)\)的最小值为\(m\)，且\(a+b+c=m\)，求证：\(a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant \dfrac {16}{3}\)．

难度：较易

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7．
已知直线\(l\)过点\((1,2)\)且在\(x\)，\(y\)轴上的截距相等
\((1)\)求直线\(l\)的一般方程；
\((2)\)若直线\(l\)在\(x\)，\(y\)轴上的截距不为\(0\)，点\(p(a,b)\)在直线\(l\)上，求\(3^{a}+3^{b}\)的最小值．

难度：较易

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8．
设\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(a+b= \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b}.\)求证：
\((1)a+b\geqslant 2\)；
\((2)a^{2}+a < 2\)与\(b^{2}+b < 2\)不可能同时成立．

难度：难

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9．
已知\(a > 0\)，\(b > 0\)且\(a^{2}+b^{2}=2\)．
\((I)\)若是\( \dfrac {1}{a^{2}}+ \dfrac {4}{b^{2}}\geqslant |2x-1|-|x-1|\)恒成立，求\(x\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)证明：\(( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b})(a^{5}+b^{5})\geqslant 4\)．

难度：较易

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10．
已知函数\(f(x)=|tx-2|-|tx+1|(t∈R)\)．
\((1)\)当\(t=1\)时，解不等式\(f(x)\leqslant 1\)；
\((2)\)设\(a\)，\(b\)，\(c\)为正实数，且\(a+b+c=m\)，其中\(m\)为函数\(f(x)\)的最大值，求证：\( \sqrt {a}+ \sqrt {b}+ \sqrt {c}\leqslant 3\)．

难度：较易

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