知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知定义在R上的函数f（x）=|x-m|+|x|，m∈N^*，存在实数x使f（x）＜2成立．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：
4
α
+
1
β
≥
9
2
．

难度：较难

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2．已知不等式|x+2|+|x-2丨＜10的解集为A．
（1）求集合A；
（2）若∀a，b∈A，x∈R₊，不等式a+b＞（x-4）（
1
x
-9）+m恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x-a|+|x+b|+c的最小值为1．
（1）求a+b+c的值；
（2）求证：a²+b²+c²≥
1
3
．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜2+|x+1|的解集；
（2）已知m，n∈R⁺且
1
m
+
1
n
=2mn，求证：mf（n）+nf（-m）≥6．

难度：中等

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5．设x，y均为正数，且x＞y，求证：x+
4
x2-2xy+y2
≥y+3．

难度：较易

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6．已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜4；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求
m2+2
m
+
n2+1
n
的取值范围．

难度：中等

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7．已知a＞0，b＞0，c＞0，若函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为2．
（1）求a+b+c的值；
（2）求
1
a
+
1
b
+
1
c
的最小值．

难度：中等

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8．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：
方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；
方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

难度：中等

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9．有60m长的钢材，要制作如图所示的窗框：
（1）求窗框面积y与窗框宽x的函数关系；
（2）当窗框宽为多少米时，面积y有最大值？最大值是多少？

难度：中等

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10．已知函数f（x）=ax²+bx-2b
（1）a=b＞0时，解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）当a=1时，若对任意的x∈（-∞，2），不等式f（x）≥1恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若|f（-1）|≤1，|f（1）|≤3，求|a|+|b+2|的取值范围．

难度：中等

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