知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．已知函数f（x）=2ax+
1
x
+（2-a）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，若存在x₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）满足1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤5，则f（-3）的取值范围是．

难度：中等

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5．对于每个正整数n，设f（n）=
100
i=1
[lg(in)]，若f（n）＜300，求n的最大值．

难度：中等

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6．设实数x，y满足2≤
x
•y≤3，1≤
x
y
≤2，则使得a≤
x3
y4
≤b恒成立的b的最小值是．

难度：较易

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7．已知函数f（x）=x-a-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当函数y=f（x）有两个零点时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当函数y=f（x）有两个零点x₁，x₂∈[
1
2
，
5
2
]且x₁＜x₂时，证明：
①若x₂-x₁≤1，则有
3
ln2+ln9
＜a＜
1
2-ln4
；
②
x2-x1
x1x2
随着a的增大而增大；
③x₁x₂＞1；
（Ⅲ）证明：
n
k=1
k
1+lnk
＞ln（n+1），（n∈N^*）．

难度：中等

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8．从x轴上一点A分别向函数f（x）=-x³与函数g（x）=
2
|x|3+x3
引不是水平方向的切线L₁和L₂分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OAB的面积为S₁，△OAC的面积为S₂，则S₁+S₂的最小值为．

难度：中等

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9．已知函数y=f（x）是R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x²-2x）≤-f（2y-y²），且1≤x≤4，则
y
x
的取值范围是．

难度：较难

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10．锐角三角形ABC中，角C既不是最大角也不是最小角，则角C的取值范围是．

难度：中等

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