知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015•张掖模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积．若f（M）=（
1
2
，x，y），且
1
x
+
a
y
≥8恒成立，则正实数a的最小值为．

难度：较难

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2．若不等式-1＜ax²+bx+c＜1的解集为（-1，3），则实数a的取值范围是．

难度：较难

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3．对一切正整数n，不等式
2x-1
x
＞
n
n+1
恒成立，则实数x的取值范围是．

难度：中等

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4．若关于x的不等式
2x+1
＜x+a的解是x＞m，试求m的最小值为．

难度：中等

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5．设m为实数，若{(x，y)|
x-2y-5≥0
3-x≥0
mx+y≥0
}⊆{（x，y|x²+y²≤25）}，则m的取值范围是．

难度：较难

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6．已知函数f(x)=
a(x-1)2+1
bx+c-b
（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，
且f（x）的图象按向量
e
=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称．
（1）求a、b、c的值；
（2）设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求证不等式|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|；
（3）已知x＞0，n∈N^*，求证不等式[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

难度：难

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7．已知x＞0，y＞0，xy=x+2y，若xy≥m+2恒成立，则m的范围是．

难度：中等

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8．已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则
b
a
的取值范围是．

难度：中等

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9．已知a＞0，函数f（x）=
1-ax
x
，x∈（0，+∞）．设0＜x₁＜
2
a
，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x₂，0），求证：①0＜x₂≤
1
a
； ②若0＜x₁＜
1
a
，则x₁＜x₂＜2x₁．

难度：较难

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10．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，
x+y
2
∈D均满足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）给定两个函数：f1(x)=
1
x
(x＞0)，f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）．证明：f₁（x）∉M，f₂（x）∈M．
（3）试利用（2）的结论解决下列问题：若实数m、n满足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

难度：中等

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