知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义在R上的运算：x*y=x（1-y），若不等式（x-y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是．

难度：中等

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2．若不等式-1＜ax²+bx+c＜1的解集为（-1，3），则实数a的取值范围是．

难度：较难

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3．不等式
ax
x-1
＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a的值为．

难度：中等

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4．对一切正整数n，不等式
2x-1
x
＞
n
n+1
恒成立，则实数x的取值范围是．

难度：中等

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5．已知函数f(x)=
a(x-1)2+1
bx+c-b
（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，
且f（x）的图象按向量
e
=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称．
（1）求a、b、c的值；
（2）设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求证不等式|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|；
（3）已知x＞0，n∈N^*，求证不等式[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

难度：难

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6．巳知函数f（x）=x²-2ax-2alnx（x＞0，a∈R，g（x）=ln²x+2a²+
1
2
．
（1）证明：当a＞0时，对于任意不相等的两个正实数x₁、x₂，均有
f( x1)+f(x2)
2
＞f（
x1+x2
2
）成立；
（2）记h（x）=
f(x)+g(x)
2
，
（i）若y=h′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（ii）证明：h（x）≥
1
2
．

难度：较难

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7．已知直线l：y=kx+m与椭圆
x2
3
+y2=1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
3
2
，设弦长|AB|=f（k）
（1）求f（k）个关于实数k的表达式；
（2）若不等式|x-p|+|x-1|≥f（k）对k∈R，x∈R恒成立，求实数p的取值范围．

难度：较难

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8． f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x-2）在[
1
2
，1]上恒成立，则实数a的取值范围是．

难度：较难

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9．把函数y=lnx-2的图象按向量
a
=(-1，2)平移得到函数y=f（x）的图象．
（I）若x＞0，试比较f(x)与
2x
x+2
的大小，并说明理由；
（II）若不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-2bm-3．当x，b∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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