知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）满足f（b）≥f（c），记f（x）的最小值为m（b，c）．
（Ⅰ）证明：当b＞0时，m（b，c）≤1；
（Ⅱ）当b，c满足m（b，c）≥1时，求f（1）的最大值．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=x²+ax+1，其中a∈R，且a≠0
（Ⅰ）若f（x）的最小值为-1，求a的值；
（Ⅱ）求y=|f（x）|在区间[0，|a|]上的最大值．

难度：中等

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3．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax²-2bx-a+b，x∈[0，1]．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若-1≤f（x）≤1对任意的x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．

难度：中等

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4．已知f（x）=ax²+bx+1（a＞0，b∈R）
（Ⅰ）已知f（x）在R上存在唯一一个零点1，求a和b的值；
（Ⅱ）已知f（x）在区间[0，1]上存在两个零点，证明：a+|b|＞3．

难度：中等

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5．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≤0时，f（x）=
1
8
x²+
1
2
x．
①求x＞0时，f（x）的解析式；
②关于x的方程f（x）=
1
2
a²-1有三个不同的根，求a的取值范围；
③是否存在正实数a，b（a≠b）当x∈[a，b]，g（x）=f（x）且g（x）的值域为[
1
b
，
1
a
]，若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=x²+ax+1．
（1）解不等式f（x）＞0．
（2）若f（x）在x∈[-3，1）上恒有f（x）≥-3成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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7．设函数f（x）=ax²+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[-1，1]都有|f（x）|≤
1
2
．
（1）求|f（2）|的最大值；
（2）求证：对任意的x∈[-1，1]，都有|g（x）|≤1．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=x²+2x+2a-a²．
（1）当a=
1
2
时，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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9．已知f（x）=x²-3a²，g（x）=（2a+1）x．
（1）若不等式f（x）＜g（x）的解集中有且仅有一个整数，求a的取值范围．
（2）若|f（x）-g（x）|≤4a在x∈[1，4a]恒成立，试确定a的取值范围．

难度：中等

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10．已知f（x）=ax²+bx+c，且满足f（-1）=f（4）=0，f（0）=-4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≥0．

难度：较易

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