知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a＞0，b＞0，ab=8，则log₂a•log₂（2b）的最大值为．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=2ax²+bx-a+1，其中a∈R，b∈R．
（Ⅰ）当a=b=1时，f（x）的零点为；
（Ⅱ）当b=
4
3
时，如果存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0，试求a的取值范围；
（Ⅲ）如果对于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，试求a+b的最大值．

难度：较难

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3．已知二次函数g（x）=x²-2mx+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）设f（x）=
g(x)-2x
x
．若f（2x）-k•2^x≤0在x∈[-3，3]时恒成立，求k的取值范围．

难度：中等

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4．已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且4x≤f（x）≤2（x²+1）对于任意x∈R恒成立．
（1）求f（1）的值及f（x）的表达式；
（2）设g（x）=
x2-1
f(x)
定义域为D，现给出一个数学运算程序：x₁→x₂=g（x₁）→x₃=g（x₂）→…x_n=g（x_n-1），按照这个运算规则，若给出x₁=
7
3
，请你写出满足上述条件的集合D={x₁，x₂，x₃，…，x_n}的所有元素．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=x²+2x，g(x)=(
1
2
)x+m，若任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）≥g（x₂），则实数m的取值范围是．

难度：中等

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6．已知二次函数y=f（x）的图象过坐标原点，其导函数f′（x）=6x-2，数列{a_n}前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求当Tn≥
m
20
对所有n∈N^*都成立m取值范围．

难度：中等

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7．已知二次函数f（x）=x²+mx-3的两个零点为-1和n，
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）若f（3）=f（2a-3），求a的值．

难度：中等

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8．函数f（x）=x²+x+a²-2a-3，若f（x）有一正一负两个零点，求a的范围．

难度：中等

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9．已知x₁、x₂是函数f（x）=x²+mx+t的两个零点，其中常数m、t∈Z，记
n
i=0
xi=x0+x1+…+xn，设Tn=
n
r=0
x
n-r
1
x
r
2
（n∈N^*）．
（1）用m、t表示T₁、T₂；
（2）求证：T₅=-mT₄-tT₃；
（3）求证：对任意的n∈N^*，T_n∈Z．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=-2x²+mx-3为区间（-5，-3+n）内的偶函数．
（1）求实数m，n的值；
（2）求函数f（x）在区间[1，5]上的最小值．

难度：中等

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