知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数\(f(x)= \dfrac {3}{2}x+\ln (x-1)\)，设数列\(\{a_{n}\}\)同时满足下列两个条件：\(①a_{n} > 0(n∈N^{*})\)；\(②a_{n+1}=f′(a_{n}+1)\)．
\((\)Ⅰ\()\)试用\(a_{n}\)表示\(a_{n+1}\)；
\((\)Ⅱ\()\)记\(b_{n}=a_{2n}(n∈N^{*})\)，若数列\(\{b_{n}\}\)是递减数列，求\(a_{1}\)的取值范围．

难度：中等

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2．

设函数\(f(x)=ax^{3}-2x^{2}+x+c(a > 0)\)．

\((1)\)当\(a=1\)，且函数\(f(x)\)的图象过\((0,1)\)时，求函数\(f(x)\)的极小值；

\((2)\)若\(f(x)\)在\((-∞,+∞)\)上无极值点，求\(a\)的取值范围．

难度：中等

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3．

求下列函数的导数：

\((1)y=(3x^{3}-4x)(2x+1)\)；

\((2)y=\dfrac{x+\cos x}{x+\sin x} \)；

\((3)y=x\sin (2x+ \dfrac{π}{2}) \cos (2x+ \dfrac{π}{2}) \)；

\((4)y=\dfrac{1n(2x+3)}{{x}^{2}+1} \)．

难度：较易

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4．
已知函数\(f(x)=(x+a-1)e^{x}\)．

\((1)\)讨论\(f(x)\)的单调性；

\((2)\)若对任意\(x∈[0,+∞)\)，不等式\(f(x)\geqslant \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+ax\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：难

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5．
设函数\(f(x)=e^{x}-e^{-x}\)．

\((1)\)证明：\(f(x)\)的导数\(f′(x)\geqslant 2\)；

\((2)\)若对所有\(x\geqslant 0\)都有\(f(x)\geqslant ax\)，求\(a\)的取值范围．

难度：中等

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6．

求下列函数的导数：

\((1)y=x^{2}\sin x\)；

\((2)y=\ln x+ \dfrac{1}{x}\)；

\((3)y= \dfrac{\cos x}{e^{x}}\)．

难度：较难

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7．求下列函数的导数
\((1)y{=}x^{4}{-}2x^{2}{+}3x{-}1\)；
\((2)y{=}\dfrac{x{-}1}{x}\)．

难度：较易

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8．

已知函数\(f(x)=\ln x+\dfrac{1}{ax}-\dfrac{1}{a}\)，\(a\in R\)且\(a\ne 0\)．

\((1)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；

\((2)\)当\(x\in [\dfrac{1}{e},e]\)时，试判断函数\(g(x)=(\ln x-1){{e}^{x}}+x-m\)的零点个数．

难度：较难

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9．
已知函数\(f(x)=ax^{2}+bx+3(a\neq 0)\)，其导函数\(f′(x)=2x-8\)．

\((1)\)求\(a\)，\(b\)的值；

\((2)\)设函数\(g(x)=e^{x}\sin x+f(x)\)，求曲线\(g(x)\)在\(x=0\)处的切线方程．

难度：中等

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10．
已知函数\(f(x)=e^{x}-ax-1\)，其中\(e\)为自然对数的底数，\(a∈R\)．

\((1)\) 若\(a=e\)，函数\(g(x)=(2-e)x\)．

\(①\)求函数\(h(x)=f(x)-g(x)\)的单调区间\(;\)

\(②\)若函数\(F(x)=\begin{cases} f\mathrm{(}x\mathrm{){,}}x{\leqslant }m\mathrm{{,}} \\ g\mathrm{(}x\mathrm{){,}}x{ > }m \end{cases}\)的值域为\(R\)，求实数\(m\)的取值范围．

\((2)\) 若存在实数\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[0,2]\)，使得\(f(x_{1})=f(x_{2})\)，且\(|x_{1}-x_{2}|\geqslant 1\)，求证：\(e-1\leqslant a\leqslant e^{2}-e\)．

难度：难

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