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          共50条信息

            • 1． 设fn（x）=x+x2+…+xn-1，x≥0，n∈N，n≥2．
              （Ⅰ）求fn′（2）；
              （Ⅱ）证明：fn（x）在（0，
              2
              3
              ）内有且仅有一个零点（记为an），且0＜an-
              1
              2
              ＜
              1
              3
              （
              2
              3
              ）n．
              难度：较难
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            • 2． 已知数列{an}的首项a1=4，前n项和为Sn，且Sn+1-3Sn-2n-4=0（n∈N+）
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设函数f（x）=anx+an-1x2+…+a1xn，f′（x）是函数f（x）的导函数，令bn=f′（1），求数列{bn}的通项公式，并研究其单调性．
              难度：中等
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            • 3． 已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数
              （1）当x∈[0，
              π
              2
              ]时求函数g(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域              ．
              （2）在直角坐标系中画出y=g(x)-1在[-
              π
              2
              ，
              π
              ，2
              ]上的图象              ．
              难度：中等
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            • 4． 已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
              （1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最小正周期和单调递增区间；
              （2）若f（x）=2f′（x），求
              1+sin2x
              cos2x-sinxcosx
              的值．
              难度：较易
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            • 5． 设函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]2
              （Ⅰ）求g（x）的周期和最大值；
              （Ⅱ）求g（x）的单调递增区间．
              难度：中等
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            • 6． 设函数f（x）=2x3+ax2+bx+m的导函数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=-
              1
              2
              对称，且f′（1）=0．
              （1）求实数a、b的值；
              （2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数m的取值范围．
              难度：中等
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            • 7． 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
              定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”；
              定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0）对称．
              己知y=f（x）=x3-3x2+2x+2，请回答下列问题：
              （1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
              （2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
              （3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（-1，3）（不要过程）
              难度：较难
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            • 8． 求函数y=x3-2x+3的导数．
              难度：较易
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