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已知函数\(f\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+x+a \right){{e}^{-x}}\left( a\in {R} \right)\)．
\((1)\) 若\(a\geqslant 0\)，函数\(f\left( x \right)\)的极大值为\(\dfrac{3}{e}\)，求实数\(a\)的值；
\((2)\)若对任意的\(a\leqslant 0\)，\(f\left( x \right)\leqslant b{\ln }\left( x+1 \right)\)在\(x\in \left[ 0,+\infty \right)\)上恒成立，求实数\(b\)的取值范围．
已知函数\(f(x)=\dfrac{a}{x-1}+\ln x\)．
\((\)Ⅰ\()\)若函数\(f(x)\)在\(\left( e,+\infty \right)\)内有极值，求实数\(a\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)在\((\)Ⅰ\()\)的条件下，对任意\(t\in \left( 1,+\infty \right),s\in \left( 0,1 \right)\)，求证：\(f(t)-f(s) > e+2-\dfrac{1}{e}\)．
已知函数\(f(x)=\ln x+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-ax+a(a∈R)\)．
\((1)\)若函数\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上为单调递增函数，求实数\(a\)的取值范围；
\((2)\)若函数\(f(x)\)在\(x=x_{1}\)和\(x=x_{2}\)处取得极值，其中\(x_{2}\geqslant ex_{1}(e\)为自然对数的底数\()\)，求\(f(x_{2})-f(x_{1})\)的最大值．
已知函数\(f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}}{8}-\ln x\)，\(x∈[1,3]\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)的最大值与最小值；
\((\)Ⅱ\()\)若\(f(x) < 4-at\)对任意的\(x∈[1,3]\)，\(t∈[0,2]\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
已知函数\(f(x)={{e}^{x}}\sin x\)，其中\(x\in R\)，\(e=2.71828\cdots \)为自然对数的底数．
\((\)Ⅱ\()\)当\(x\in [0,\dfrac{\pi }{2}]\)时，\(f(x)\geqslant kx\)，求实数\(k\)的取值范围．
已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-m\ln x\)．
\((1)\)若函数\(f(x)\)在\(( \dfrac{1}{2},+∞) \)上单调递增的，求实数\(m\)的取值范围；
\((2)\)当\(m=2\)时，求函数\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最大值和最小值．
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