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          共50条信息

            • 1． 已知函数f（x）=（x-2）lnx+1．
              （1）判断f（x）的导函数f′（x）在（1，2）上零点的个数；
              （2）求证f（x）＞0．
              难度：中等
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            • 2． 已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2-4x．
              （1）设g（x）=（a-2）x，若∀x∈[
              1
              e
              ，e]              ，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．
              （2）定义：若函数m（x）的图象上存在两点A、B，设线段AB的中点为P（x0，y0），若m（x）在点Q（x0，m（x0））处的切线l与直线AB平行或重合，则函数m（x）是“中值平衡函数”，切线l叫做函数m（x）的“中值平衡切线”．试判断函数f（x）是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数f（x）的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由．
              难度：中等
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            • 3． 已知f（x）=x2-alnx，a∈R．
              （1）讨论函数f（x）的单调性；
              （2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；
              （3）设g（x）=f（x）-2x，若g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g（x1）+g（x2）＞-
              5
              2
              ．
              难度：中等
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            • 4． 已知函数f（x）=
              1-x
              ex
              ．
              （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
              （2）求函数f（x）的零点和极值；
              （3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）-f（x2）≥-
              1
              e2
              成立，求实数a的最小值．
              难度：中等
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            • 5． 已知函数f（x）=2ex-（x-a）2+3，g（x）=f′（x）．
              （Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？
              （Ⅱ）当a＜-1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；
              （Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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            • 6． 已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
              （Ⅰ）若a=-2，求函数f（x）的单调区间；
              （Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）
              难度：较难
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            • 7． 已知函数f（x）=ex-alnx．
              （1）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e-1）x+1，求a；
              （2）当1＜a＜e2时，证明：f（x）＞0．
              难度：中等
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            • 8． 已知函数f（x）=ax2-blnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=1；
              （Ⅰ）求实数a，b的值；
              （Ⅱ）求f（x）的最小值．
              难度：中等
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            • 9． 已知函数f（x）=mx-
              m
              x
              ，g（x）=3lnx．
              （1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
              （2）若x∈（1，
              		e
              ]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．
              难度：较难
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            • 10． 设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=
              2x2
              ex
              ．已知曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，3）
              （1）求实数a的值；
              （2）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k，如果不存在，请说明理由；
              （3）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min（p，q）表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．
              难度：中等
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